高中数学公式推导与应用课教学探究——以《两角和差的余弦公式》为例

广东省广州市增城区荔城中学 李 昂

在高中数学的课程中，公式推导及应用课是常见的课型，但在具体教学中却存在着一些不够平衡的情况：重记忆轻理解，重应用轻推导，重单个公式的巩固轻知识网络的构建，造成这种现象的原因很多：有教学进度的压力、学生水平的限制、也有教师自身理解的局限。不久前笔者上了一节市研讨课，题目是《两角和差的余弦公式》。下面就以这节课的准备、授课、反思为例谈谈如何上好“公式推导及应用”课。

一、设计修改及授课

（一）引入问题

你有什么疑问或困惑吗？有的话，带着这些问题阅读课本（课本P124～125）。

2.设计意图

课本用计算塔高的应用问题作为引入，虽然有实际背景，形象生动，但是图形稍显复杂，表述烦琐，基础不好的学生反映看不懂。所以笔者只用问题1作为引入，意在用简单的问题吸引学生注意力并为教学内容的展开做好铺垫，但持续思考发现，问题的内涵不够，与公式推导的衔接不强，可以作为问题的提出，但无法作为问题的导入。

问题2让学生在思维活动的试探、碰撞中，探寻两角和差三角函数公式的推导方向，对于如何寻找到使用向量作为推导工具这一点上较第一种引入更加自然，在知识体系的衔接上逻辑性也更强。

3.课堂实录

师：问题1的结论是？

师：你是如何验证的？

师：问题2的结果是？

师：请大家说说问题2中的两个问题有哪些相似、有哪些区别，可以讨论。

生：问题形式很像，都是求两角差的余弦值。

生：都是用一个特殊角减一个待定角。

生：第一个可以使用诱导公式，第二个不行。

师：不能使用诱导公式的原因是？

生：第二个问题中角的终边上的点不具有对称关系，所以很难用三角函数的定义得到三角函数值之间的关系。

师：这就是我们从前经常讲的“特殊和一般”，我们所学的诱导公式可以看作是这节公式将角特殊化后的结果，就好比集合包含关系与命题真假的关系。

师：既然从前的方法在这里无法适用，就必须寻找新的方法，我们来观察图，本质上现在探讨的还是角的问题，我们还有没有其他求夹角的办法？

生：刚刚学习的向量可以求夹角（由于刚刚学过，学生比较熟悉）。

（二）推导公式

1.教学设计

结合已经学过的知识完成下列填空：

如右图，在以坐标原点为圆心的单位圆O中，已知角α与角β的终边与单位圆的交点分别为A，B，则∠AOB=∠θ=___________________。

根据三角函数的定义：若点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），

则点A的坐标可以用α的三角函数表示为（____ ，___ ），

点B的坐标可以用β的三角函数表示为（____ ，___ ），

提醒学生思考：如果角α、β改变结果是否会发生改变，进行推导过程的严谨性探究。

2.设计意图

构建主义学生观强调“学生是以自己已有的经验来构建现实的”，所以教师应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验，本节公式推导需要调用三角函数的定义，向量的运算等基础知识就是学生“生长”的根基。笔者将公式的推导设计成填空形式的问题，意在降低了学习难度，让学生在自己“经历”中发现不足，积累问题，理出听课重点，这样在获得一定的思想基础的前提条件下进入课堂学习，将使课堂的“效能”大幅提高。

3.课堂实录

第一部分：得到向量

请一位成绩较好的学生讲解推导过程，并指导大家完成填空。

师：语文课中我们常会给文章分段，如果把我们的证明过程进行分段的话，你会怎么分，分成几段？（这个问题涉及对公式推导的整体理解）

生：分两段，第一段得到向量的坐标，第二段利用向量坐标的运算公式计算。

生：学案顺着填下来了，也没多想。

师：大家说这里我们要解决的问题是什么？

生：求cos（α-β）的值啊。

师：我们期望得到的结果是什么？

生：发现cos（α-β）与cosα，cosβ的关系，从而利用cosα，cosβ就能求得cos（α-β）的值。

师：影响三角函数值的是角而不是点，点只是中间量，我们要抓住问题的本质，我们准备解决什么问题，这个问题的结果受什么因素影响？

第二部分：利用向量求角

另请一位同学上台讲解。

师：通过推导我们得到了一个结果，在本节开始的时候我们提到诱导公式可以看作是两角和差特殊化以后的结果，那么现在我们能不能试一试，用现在得到的公式重新推一下诱导公式。

学生很容易就解决了，并由于发现了数学知识间的联系而表现得有点兴奋，开始的时候埋设伏笔在这里得以显现的。

师：公式我们得到了，请问我们的推导过程完美吗？

学生没有反应，学生是很难注意到公式推导中的严谨性问题的，这里教师要重点引导。

师：推导过程始于学案中的图形，那么对于这张图大家有没有疑问？

生：还有一个问题，如果学案中的图里给出的不是单位圆，那么结果会有影响吗？

师：好的，当圆的半径为r时，看能不能推出公式。（适当变式让学生重新推导公式，可以检查学生对推导是否真的理解）

第三部分：巩固与练习（略）

二、反思与建议

1.发现优质素材、目光投向远方

教材中的优质素材具有以下特点：

（1）有利于数学能力的培养，数学思维的形成；

（2）具有多方向的知识贯通性，探讨的效能高；

（3）挖掘成本适中，在学生能力范围内。

教材中，“公式”常常是优质素材的发生点，比如：导数的定义、等差、等比求和公式、三角函数诱导公式、两角和差三角函数公式、解析几何弦长公式等。教学中，老师们应当把公式推导重视起来，学生记不住公式，一用就错根本原因是不知道怎么来，不理解其意义。

2.万事开头难，好的引入是成功的一半

公式推导的引入有很多种方式，可以情景与实践引入，可以类比与归纳引入，也可以设疑与发现引入，但无论哪一种引入，都要从学生的学情出发。好的引入应当在提出问题的同时，激发学生继续探究的欲望，控制难度，不能让学生一上课就有“撞墙”的感觉。

3.精心设计问题，在问答中擦出火花

公式推导是教学的重点，也是难点，让学生“好学”是教学设计的根本原则之一。教师精心设计好问题链，预设好学习的阶梯，引导学生逐级攀登。课堂上教师的任务就是帮助学生发现和挖掘问题的实质，在学生的最近发展区中设计提问，引导学生进行各种尝试并得到思路。提醒学生进行知识的迁移，完善推导的严谨性。

4.相信学生，课堂才能活力无限

课堂上学生能做的事，老师不要抢着做。放手让学生去“经历”，在“经历”中去观察、试探、归纳、感悟、提高。教师抽身出来，“闲”下来认真审视学生的思维活动，全身心地融入学生中，以学生的角度思考，发现学生思考的难点、思维的亮点、将其中有价值的及时放大到课堂，师生共同探讨、挖掘。事实证明这样的课堂处处迸发闪光点，活力无限。