基于直观想象视角下的一道高考试题赏析

原坤 刘豹

[摘  要] 从直观想象的角度出发，分析2018年数学高考天津卷理科第8题所考查的数学思想（其中考查的最主要的数学基本思想方法是“数形结合”），从而为中学数学教学提供可靠的教学建议.

[关键词] 直观想象;数形结合;思想方法

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出：“直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.”直观想象不是对直观和想象做加法，而是二者的合理融合. 直观想象主要表现为三个方面：借助图形描述问题情境，通过数形结合搭建形与数的桥梁，基于图形理解凸显几何直观.

思路展示

我国著名数学家华罗庚对数与形的关系有如下生动的描述：“数缺形时少直观，形少数时难入微.” 借助图形可以打通代数的任督二脉，使问题的解决思路很快地显现出来，有利于揭示问题的本质，从而提升学生的直观想象素养.由于本题中出现了垂直关系，故可以建立直角坐标系，将图形语言“符号化”，然后借助函数的知识解决问题.

视角二：借助图形理解，顿生直观洞察

几何图形包括函数的图像及其变换、向量的几何意义及其运算等. 平面向量集“几何”与“代数”于一身，而几何属性是其本质属性. 研究向量的运算问题就是研究其几何图形的问题. 我们抓住了向量的几何背景就相当于抓住了向量的本质. 因此，研究向量的几何运行算，是直觉产生的源泉，也是顿生直观洞察的媒介.

视角三：借助几何模型，发展空间想象

通过对平面向量的几何表象进行运算、转换，构建新的几何图形，利用向量等式的处理策略得到”极化恒等式”这一处理向量数量积的模型，从而发展学生的空间想象.

直观想象只是六大核心素养之一，而且它们之间不是孤立的，是相互渗透的，在发展直观素养的同时，可以通过类比进行一些变式发展学生的逻辑推理能力.

直观想象的培养可以提高学生数形结合、几何直观、空间想象能力;借助直观想象可以降低解决问题的门槛，使抽象的问题显性化、复杂的问题简单化，有助于学生理清逻辑推理和数学运算的思路，把握问题的本质. 总之，直观想象素养的养成绝非一朝一夕之功，而是在课堂内外长期坚持、用心呵護.