抛物线问题，定义先行

王佩其

在解析几何中，抛物线问题的求解往往离不开抛物线定义。抛物线定义不仅能帮助同学们打开解题思路，而且可以减少计算量，真可谓“抛物线问题，定义先行”。

一、定义助我求轨迹

例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，点F=（，0），直线l：x=，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l。判断动点Q的轨迹，并求其轨迹方程。

解析：依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，所以RQ是线段FP的垂直平分线。

因为点Q在线段FP的垂直平分线上，所以|PQ|=|QF|。

又|PQ|是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2=2x。

评注：解答本题的关键是发现|PQ|=|QF|，即动点Q的轨迹满足抛物线的定义。

二、定义助我求方程

例2如图2，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交一其准线l于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为____。

解析：如图3，分别过A、B作AA1⊥l于A，BB1⊥l于B1。

。

由抛物线的定义知：|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|。

因为|BC|=2|BF|，所以|BC|=2|BB1|，∠BCB1=30°，∠AFx=60°。

连接A1F，则△AA1F为等边三角形。过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点。设准线l交x轴于K，则|KF|=|A1F1|=，即p=

因此，抛物线的方程为

评注：求抛物线的标准方程就是求参数p的值，这个值可根据抛物线的定义并借助几何法求得，从而避免了烦琐的代数运算。

三、定义助我求比值

例3已知点A（2，0），抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）。

A.2：√5

B.1：2

C.1：√5

D.1：3

解析：如图4所示，过点M作MH⊥l，由抛物线定义知|MF|=|MH|，所以|MF|：|MN|=|MH|：|MN|。

由于△MHN△FOA，则

故答案为C。

评注：本题与例2相似，利用抛物线的定义和图形特征，把解析几何问题转化为平面几何问题，大大减少了计算量。

四、定义助我求面积

例4设O为抛物线的顶点，F为拋物线的焦点，且PQ过焦点的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面积。

解析：因为PQ过焦点，所以|PQ|可看成两个焦半径之和。

如图5，不妨设抛物线方程为y2=4ax，

评注：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根与系数的关系是常见的基本技能。本题计算三角形面积的技巧，也是抛物线中经常用到的，必须掌握。

五、定义助我求最值

例5已知抛物线y2”=2x的焦点是F，点P是抛物线，上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标。

解析：将x=3代入抛物线方程y'2=2x，得y=±6。

因为√6>2，所以A在抛物线内部。如图6，设抛物线上点P到准线l：x=的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d。当PA⊥准线l时，|PA|+d的值最小，最小值為。，即|PA|+|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，点P的坐标为（2，2）。

评注：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关。由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度。“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要方法。