全国名校抛物线技高卷（B卷）

2019-07-01 13:35刘俊报

中学生数理化·高二版 2019年1期

关键词：准线过点动点

刘俊报

一、选择题

1.抛物线y=-x2的准线方程是（）。

2.抛物线上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则p=（）。

3.如图1，在同一平面内，A、B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当变化时，切线l与圆B的公共点的轨迹是（）。

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一支

D.抛物线

4.已知m，n∈R，则“mn<0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B，设|AF|=m，|BF|=n，则m+n的最小值为（）。

A.2

B.3

C.√23

D.4

6.已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°。设线段AB的中点M在准线l上的投影为N，则（）。

A.|AB|≥2|MN|

B.2|AB|≥3|MN|

C.|AB|≥3|MN|

D.|AB|≥|MN|

7.抛物线x2=8y的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M、N两点，点P为x轴正半轴上任意一点，则（OP+PM）·（PO-PN）=（）。

A.-20

B.12

C.-12

D.20

8.如果P1，P2，…Pn，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，点F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=10，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（）。

A.n+10

B.n+20

C.2n+10

D.2n+20

9.F是抛物线y2=2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于A，与抛物线的准线相交于B，若FB=4FA，则FA·FB=（）。

A.1

B.3/2

C.2

D.9

10.過抛物线的焦点且垂直于y轴的直线与抛物线C交于A，B两点。关于抛物线C在A，B两点处的切线，有下列四个命题，其中真命题有（）。

①两切线互相垂直;②两切线关于y轴对称;③过两切点的直线方程为;④两切线方程为。

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

11.已知点A是抛物线上的一点，若以其焦点F为圆心，以|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B、C两点，设∠BFC=θ且满足2sin2θ+sinθ—sin20=3cosθ，当△ABC的面积为时，则实数p的值为（）。

A.4

C.8

12.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|=6，则AB中点到y轴的距离是（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

13.若抛物线的焦点是F，准线是l，点M（4，m）是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有（）。

A.0个

B.1个

C.2个

D.4个

14.已知点F为抛物线的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）。

A.6

B.2+4√2

C.2√13

D.4+2√5

15.点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A、B两点，且|PA|=2|AB|，则称点P为“δ点”。下列结论中正确的是（）。

A.直线l上的所有点都是“δ点”

B.直线l上仅有有限个点是“δ点”

C.直线l上的所有点都不是“8点”

D.直线l上有无穷多个点是“δ点”，但不是所有的都是“δ点"

16.过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是（），

17.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则-的值为（）。

C.1

D.2

18.已知抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，其面积为（）。

19.如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是上底面A1B1C1D1内一动点，PM垂直AD于M，|PM|=|PB|，则点P的轨迹为（）。

A.线段

B.椭圆的一部分

C.抛物线的一部分

D.双曲线的一部分

20.已知直线y=k（x+2）（k>0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k的值为（）。

21.已知点A是抛物线M：y2=2px（p>0）与圆C：x2+（y-4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M的焦点F的距离等于a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）。

A.2

22.过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线与抛物线交于点A、B，O是坐标原点，且满足AF=2FB，则抛物线的标准方程为（）。

23.已知抛物线的焦点F是椭圆（a>b>0）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为（）。

24.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若NRF=60°，则|FR|等于（）。

A.1/2

B.1

C.2

D.4

25.抛物线C：y2=4x与直线l：y=k（x-2）交于点M、N两点，过点M作x轴的平行线与ON交于A点，过点A作抛物线C的切线，切点为B，切线AB与直线l：x=2交于D点。已知点E（2，0），则|DE|2-|AE|2=（）。

A.8

B.-8

C.16

D.-16

26.抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x-1）2+y2=1，直线l经过抛物线C1的焦点F，依次交抛物线C1，圆C2于A，B，C，D四点，则AB·CD的值为（）。

B.1

C.2

D.4

27.已知抛物线C：y2=4x，若过点P（-2，0）作直线l与抛物线C交A，B两个不同点，且直线l的斜率为k，则k的取值范围是（

28.若A、B是拋物线y2=x上关于直线x-y-3=0对称的相异两点，则|AB|=（）。

A.3

B.4

29.已知抛物线C：y2=x，过点P（a，0）的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA·OB<0，则a的取值范围是（）。

A.（-∞，0）

B.（0，1）

C.（1，+∞）

D.{1}

30.已知F为抛物线M：y2=4x的焦点，A，B，C为抛物线M上三点，当FA+FB+FC=0时，称△ABC为“和谐三角形”，则抛物线上的点可构成的“和谐三角形”有（）。

A.0个

B.1个

C.3个

D.无数个

31.斜率为k的直线l过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，交抛物线于A，B两点，点P（x0，y0）为AB的中点，作OQAB，垂足为Q，则下列结论中不正确的是（）。

A.ky0为定值

B.OA·OB为定值

C.点P的轨迹为圆的一部分

D.点Q的轨迹是圆的一部分

32.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为（）。

A.±

B.±1

C.±

D.±

33.过抛物线x2=2y上两点A、B分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）。

B.1

D.2

34.已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|=t|PQ|，当t最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为（）。

二、填空题

35.已知直线l：y=mx-4m与抛物线y2=2px（p>0）交于点A、B，以AB为直径的圆经过原点，则抛物线的方程为____。

36.已知抛物线的方程为y2=2px（p>0），0为坐标原点，A，B为抛物线上的点，若△OAB为等边三角形，且面积为48√3，则p的值为____。

37.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x.轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且FM=MN，则|NT|=____。

38.已知一条抛物线的焦点是直线l：y=-x-t（t>0）与x轴的交点，若抛物线与直线l交于点A、B，且|AB|=2/6，则t=____。

39.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，E是抛物线C的准线上位于x轴上方的一点，直线EF与抛物线C在第一象限交于点M，在第四象限交于点N，且|EM|=2|MF|=2，则点N到y轴的距离为____。

40.已知抛物线y2=2px的准线方程为-2，点P为抛物线上的一点，则点P到直线y=x+3的距离的最小值为____。

41.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C相交于点M（点M位于第一象限），与它的准线相交于点N，且点N的纵坐标为4，|FM|：|MN|=1：3，则实数p=____。

42.已知抛物线与圆有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则____。

43.若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动，则|PQ|+|PC|的最小值为____。

44.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A、B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于M（），且△AOB的面积为.√13，则抛物线C的方程为____。

45.如图3，从点M（x0，4）发出的光线，沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x-y-10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于____。

46.抛物线y2=2px（p>0）的准线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积等于2，则p=____。

47.M为抛物线y2=4x上一点，且在第一象限，过点M作MN垂直该抛物线的准线于点N，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若四边形OFMN的四个顶点在同一个圆上，则该圆的方程为____。

48.如图4，过抛物线y，2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若FC=4FB，则|AB|=____。

49.已知点A是抛物线y2=2px（p>0）上一点，F为其焦点，以F为圆心、|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，OFBC为正三角形，且△ABC的面积是，则抛物线的方程是____。

50.已知圆C，：x2+（y-2）2=4，抛物线C2：y2=2px（p>0），圆C，与抛物线C2相交于A，B两点，|AB|=，则抛物线C2的方程为____。

51.过点F（2，0）作直线FM交y轴于点M，过点M作MN⊥MF交x轴于点N，延长NM至点P，使得|NM|=|MP|，则P点的轨迹方程为____。

52.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合），若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，则|PF|的最小值是____。

53.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆交于M，N两点，若|AB|=3|MN|，则直线l的斜率为____。

54.已知斜率為2的直线l与抛物线y2=2px（p>0）交于x轴上方的两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2的取值范围是____。

三、解答题

55.已知动圆E经过定点D（1，0），且与直线x=-1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程。

（2）设过点P（1，2）的直线l1，l2分别与曲线C交于点A，B，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值。

56.设O是坐标原点，F是抛物线xc2=2py（p>0）的焦点，C是该抛物线上的任意一点，当CF与y轴正方向的夹角为60°时，。

（1）求抛物线的方程：

（2）已知A（0，p），设B是该抛物线上的任意一点，M，N是x轴上的两个动点，且|MN|=2p，|BM|=|BN|，当取得最大值时，求△BMN的面积。

57.如图5，已知圆C：x2+（y-2）2=4，抛物线D的顶点为0（0，0），准线的方程为y=-1，M（x0，y0）为抛物线D上的动点，过点M作圆C的两条切线与x轴交于A，B。

（1）求抛物线D的方程：

（2）若y0>4，求△MAB的面积S的最小值。

58.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点P（m，5）到焦点的距离为6。

（1）求该抛物线C的方程;

（2）已知抛物线上一点M（4，t），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点，并说明理由。

59.如图6，过抛物线M：y=x2上一点A（点A不与原点0重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D。

（1）设点A（x0，x）（x0≠0），求直线AB的方程：

（2）求的值。

60.已知抛物线C1的方程为x2=2py（p>0），过点M（a，-2p）（a为常数）作抛物线C1的两条切线，切点分别为A，B。

（1）若过焦点且在x轴，上截距为2的直线l与抛物线C，交于Q，N两点，Q，N两点在x轴上的射影分别为Q，N，且|Q'N'|=2√5，求抛物线C、的方程;

（2）设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值。

61.已知经过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），0为坐标原点，直线AO，BO分别交直线m：x=-1于点M，N。

（1）求证：x1x2=1，y1y2=-4：

（2）求线段MN长的最小值。

62.已知动点P到定直线l：x=-2的距离比到定点F（1/2，o）的距离大3/2。

（1）求动点P的轨迹C的方程。

（2）过点D（2，0）的直线交轨迹C于A，B两点，直线OA，OB分别交直线l于点M，N，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值，并求出此定值。

63.已知圆N：（x+1）2+y2=2和抛物线C：y2=x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B。

（1）当切线l斜率为-1时，求线段AB的长：

（2）设点M和点N关于直线y=x对称，且MA·MB=0，求直线l的方程。