椭圆焦点三角形的性质探究与应团

洪汪宝

我们知道，椭圆上任意一点（除去长轴端点）与两焦点所构成的三角形称为椭圆的焦点三角形。那么该三角形有哪些特殊的性质呢？本文对椭圆的焦点三角形的性质进行探究并举例说明其应用。

一、性质探究

为了研究问题的方便，我们以焦点在x轴上的椭圆为例。有兴趣的读者，可模仿推导焦点在y轴上的椭圆的情况。

性质1：△PF1F2的周长为定值，其值为2a+2c。

性质2：△PFF2的面积为c|y0|，其最大值为bc，当点P位于短轴端点时焦点三角形的面积取到最大值。

性质3：若∠F1PF2=a，则△PF1F2的面积为b2tana/2。

证明：

故

故

性质4：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。

证明：

根据此性质可知椭圆上的点到焦点的最大距离为a+c，最小距离为a-c，此时该点是椭圆长轴的端点。

性质5：∠F1PF2=a，则当点P位于上、下顶点时，a最大。

证明：由余弦定理知：

当且仅当|PF1|=|PF2|即当点P位于上、下顶点时cosa取到最小值，又余弦函数在[0，π]上单调递减，此时a最大。

由以上证明过程不难得出cosa≥2b2/a2-1=1-2e2。

性质6：设∠PF1F2=β，∠PF2F1=θ，则椭圆的离心率e=- sin（β+θ）/sin β +sin θ

证明：

性质7：如图1，作∠F1PF2的补角的平分线PF，过F，2作PF的垂线，垂足为D点，则点D的轨迹是一个圆。

证明：

所以点D的轨迹是一个以原点为圆心，半径为a的圆。

性质8：如图2，作圆与线段F、P的延长线、线段F2P、线段F1F2的延长线分别切于点D、E、F，则点F为椭圆的右顶点。

证明：

解得xF=a。

所以点F为椭圆的右顶点。

二、性质应用

例1?已知

△PF1F2的面积为_____。

解：根据性质3可知△PF1F2的面积为9tan 45°=9。

例2?已知椭圆

0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在点P使∠F，PFz= 120° ，则该椭圆C的离心率的取值范围为_____。

解：由性质5的所得结论cos a≥1 - - 2e2知cos 120°≥1-2e2 ，解得e∈ 「v32

例3已知F1，F2是椭圆; 40 20的左、右焦點，P是椭圆上一点，若△PF，F2为直角三角形，则这样的点P有____个。

解：若点P为直角顶点，根据性质5由a=.2b知P为上下顶点;若F、为直角顶点，过F;作F1F2的垂线交椭圆于两点，此两点即为所求;同理，若F。为直角顶点，则满足条件的点P也有两个。综上所述，符合条件的点P有6个。

例4 已知椭圆C：- z=1（a>b>>0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在点P使∠PF：F2=75°，∠PF2F1=15°，则该椭圆C的离心率为______。

解：由性质6知该椭圆的离心率为sin（75°+ 15°）√⑥sin 75°+sin 15 2sin 45 cos 30°

例5椭圆=1的左焦点为F，”4直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是_____。

解：设该椭圆的右焦点为F1，则△FAB的周长为|AF | +| BFI+IAB|≤lAF |+|BFI+|AF1I+|BF11=8，当且仅当直线 x=m经过点F1时等号成立，此时|AB|=3，OFAB的面积为1/2X3X2=3。