基于“数学核心素养”理念下的解题研究——对一道中考题解法的思考

倪 波

(江苏省苏州外国语学校 215011)

数学教育家G·波利亚有个观点：“掌握数学就意味着善于解题.”解题能力是学习数学的重要能力之一.教师也很重视解题训练，但是不知道如何有效提高学生的解题能力.学生在学习过程中，解题的主要方法也是“模仿”，模仿老师讲解的方法与思路，然后通过刷题来提高速度与正确率，很少去思考题目深层次隐含的数学思想、数学方法，一旦题目稍加变化，就不知所措了.如何改变这种解题的低效局面？如何将数学核心素养的培养有效地融入到解题教学中？笔者以一道中考题的解题教学为例，谈谈个人的一些想法.

一、试题呈现

如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB长为10，弦AC长为6, ∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，求CD的长.

二、解法探究

评析从条件CD是∠ACB的平分线入手，利用角平线性质，过D作DE⊥CA，DF⊥CB，分别交CA、CB所在直线于点E、F，从而得到解法3；亦可利用角平分线对称性，构造△CAD≌△CED，过点D作DF⊥BC，根据等腰三角形的“三线合一”与等腰直角三角形的性质来解题，从而得到解法4.

评析在四边形ACBD中，∠ADB=∠ACB=90°，AD=BD，可构造△CAD≌△BDF，其本质是将△ADC绕点D旋转至△BDF，利用等腰直角三角形的性质解题，由此还可得另一种解法，过点D作DE⊥CD，交CA延长线于点E，解法类似.

三、变式

变式1 如图7，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6, ∠CAB的平分线交⊙O于点D. 求AD的长.

分析此题与原题对比，∠ACB的平分线改为∠CAB的平分线，虽然条件有了变化，但是角平分线这个条件仍然存在，因而联想到角平分线的性质，过点D向CA、CB作垂线，利用相似三角形的性质来解题.

变式2 如图8，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=6，BC=8，∠ACB=60°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求CD的长.

评析此题与原题对比，条件中添加∠ACB=60°，本质上只是将∠ACB=90°改为∠ACB=60°，我们仍然可以从角平分线这个条件入手，过点D向CA、CB作垂线，利用角的对称性、解直角三角形相关知识来解题.

四、推广

如图9，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=b，BC=a，∠ACB=n°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求CD的长.

评析将原题的条件一般化后可进一步推广，即一个圆的任意内接三角形，知道两边及其夹角，可求出夹角平分线与三角形外接圆相交形成的线段长.

五、感悟

1.抓住本质，解法的自然生成

一道题的图形会很复杂，条件也会有很多，学生在较多条件情况下，分析出对自己有用的信息存在一定的难度，那么，我们老师在帮助学生分析的时候，需要从题目的关键条件入手，让学生能够联想到某个基本图形，对比分析选择的条件与是否与基本图形的条件一致，从而很自然地生成一个解法.例如本题中问题的解决，圆只是作为题目的背景，实质上就是解三角形的问题，而角平分线就是一个关键条件，学生只要联想到角平分线的性质，就能作出相关辅助线，最终解决问题.

2.推广延伸，提升学生的能力

数学是思维的体操，在学习数学的过程中，逻辑推理能力起主导作用，所以在平时教学中要更多地关注题目的自然解法，注重引导学生学会分析,学会从多个角度来思考问题(一题多解)，对题目进行类比、拓展、延伸(一题多变)，对同一类题型题目进行归纳与总结，关注每题考查的核心内容，从题目中提炼出数学的本质，使数学解题更自然，从而真正提高学生的思维能力与解题品质.