领会数学思想 提升思维品质

黄胜怀

[摘  要] 波利亚认为解题就是“问题转换”，把问题转化为一个等价的问题，或把问题化归为一个已解决的问题. 数学解题过程无不蕴含着数学思想，同时也指导着解题活动，训练着思维品质. 文章從斜率、角平分线、相似三角形、平向向量、解三角形等视角，对2018年高考数学全国卷Ⅰ文科第20题进行了解法探究，并分享了一些教学思考.

[关键词] 解析几何;转化;数学思想

[?]真题再现

（2018年高考数学全国卷Ⅰ文科第20题）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（-2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点.

（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程;

（2）证明：∠ABM=∠ABN.

试题分析：试题从能力立意到素养导向转变，比往年难度有所降低，充分考查了数形结合、化归与转化的基本思想，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.第（1）问考查直线与抛物线的位置关系;第（2）问考查抛物线中动态性质的证明，综合考查斜率、角平分线、相似三角形、平向向量、解三角形等知识的应用.

[?]多视角下的解法分析

当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，显然有∠ABM=∠ABN. 为便于解法研究，下列各解法仅研究直线l与x轴不垂直的情形.

1. 斜率视角

2. 角平分线视角

3. 相似三角形视角

4. 平面向量视角

5. 解三角形视角

上述10个解法从与角有关的知识出发，进行广泛的联系，从多个视角展开了解法探究. 不难发现解法1是最佳转化的方式，最直接地将几何的角转化为代数的斜率和为零. 其余9种解法均不同程度地进行几何关系的优化，再转化为代数，深刻地体现了解析几何既是几何又是代数，虽然在求解本题时这9种解法略显繁杂，但是从不同角度应用知识，鼓励学生积极思考，能很好地帮助他们提升思维品质，而非就题讲题，是将数学题当成数学问题进行研究.

[?]对教学的启示

圆锥曲线是高中数学主要内容之一，也是高考的核心内容，其研究的对象是几何图形，采用的研究方法是坐标法.通过对高考真题的解法探究，不难发现素养导向下的试题突出几何直观、逻辑推理、运算求解等核心素养，更强调对转化的要求，教学中需力求实现上述导向.

首先，要让学生掌握解决平面解析几何问题的基本过程，明确几何特征（如交点、斜率、平行、垂直、共线、夹角、距离、直线与圆锥曲线位置关系等）与方程形式之间的本质联系，再选择恰当的代数表达来刻画几何特征. 其次，教师要多示范板书，同时必须让学生多动手操作，学会等价转化，并在操作中领悟化简变形的重要性和如何简化运算. 再者，近年来的圆锥曲线的全国各地高考题经常是选用某个背景结论为载体进行编制，如本题和2018年高考理科数学全国Ⅰ卷19题背后其实就是圆锥曲线“伴侣点”的一个和谐性质[1]，这个性质在抛物线（2018文科20题）、椭圆（2018理科19题）、双曲线都成立. 因此，教学中要重视课本例题、习题、试题中背景结论的挖掘和积累，掌握背景结论的推导方法及过程，构建数学模型，运用模型解决问题.

总之，落实和发展核心素养，关键在于学生思维品质的提升. 因为数学思维其核心就是数学思想. 所以，要让学生领会数学思想，学会用数形结合、等价转化等思想方法来分析问题、解决问题;引导学生有意识地去观察寻找各种特征、联系，引发联想，特别是发掘问题与已有知识之间具有启发性的联系，获得解题方向，有针对性地通过一题多解、多变、多用，来训练和提升思维的灵活性、深刻性、独创性等思维品质. 最终将学生的解题转变为解决问题，将做题转变为做人、做事[2].

参考文献：

[1]  邹生书. 圆锥曲线“伴侣点”的一个和谐性质[J]. 中学数学教学，2009（2）：40.

[2]  任子朝. 从能力立意到素养导向[J]. 中学数学教学参考，2018（13）：5.