泰勒公式在微分几何学中的应用

樊丽丽



泰勒公式在微分几何学中的应用

樊丽丽

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

就教学实际谈了泰勒公式在微分几何曲线曲面教学中的应用。

泰勒公式；向量函数；微积分

数学与应用数学专业必修课主要讲经典的微分几何，即空间中曲线和曲面的微分几何。经典微分几何可以看作是数学分析应用的舞台，在这里微积分的作用发挥到了极致。尤其是泰勒公式在研究空间曲线与曲面时起着非常重要的作用，而且反复用到，如果在授课过程中注意前后联系，强调方法，会达到很好的效果。本文结合笔者教学实际探讨泰勒公式在经典微分几何中的应用。相关符号完全参照有关文献[1]。

微分几何的主要工具是向量函数的微积分，向量函数的微积分是实函数微积分[2]的推广。大部分实函数的微积分结论都可以直接推过来，但有某些定理却不可以直接用，需要加以改进，如拉格朗日中值定理在向量函数中并不成立。设

但

时

的无穷小向量。

1 用泰勒公式研究曲线

2 用泰勒公式研究曲面

时

的无穷小向量。则距离

事实证明，用二元向量函数的泰勒展开式去讨论曲面的第二基本形式要比课本[1]上的方式更利于学生理解。

3 用泰勒公式研究曲面域的面积

在讨论曲面域的面积时，曲面域面积公式的推导过程往往不容易理解，此时若充分利用一元函数的泰勒展开式去推，可以降低理解的难度。当分割无限加细时[1]，曲边四边形可以近似看成是平行四边形，因此，曲边四边形的面积近似等于平行四边形的面积。

因此曲边四边形的面积近似为

因此，曲面域的面积公式为

[1] 梅向明,黄敬之.微分几何(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008:1-109.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版上册)[M].北京:高等教育出版社,2010:134-139.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版下册)[M].北京:高等教育出版社,2010:127-135.

Application of Taylor Formula in the Teaching of Differential Geometry

FAN Li-li

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

According to teaching practice, the application of Taylor's formula in the teaching of curve and surface in differential geometry is discussed.

Taylor formulae; vector function; differential and integral calculus

O186.11

A

1009-9115(2019)03-0037-02

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.010

唐山师范学院教育教学改革项目（2017001009）

2018-09-19

2019-03-11

樊丽丽（1981-），女，河北保定人，硕士，讲师，研究方向为微分几何。

（责任编辑、校对：赵光峰）