小学数学核心内容群：本质解析与教学设计

武丽莎



小学数学核心内容群：本质解析与教学设计

武丽莎

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

小数数学核心内容群，即在小学数学的三个学习领域（数与代数、图形与几何、统计与概率）内，能够联结相应领域中不同学段的小学数学内容并为其提供持续性支持、具有奠基作用的数学知识结构和数学思想方法。小数数学核心内容群具有联结性特征、持续性特征、奠基性特征、思想性特征，从数学学科发展以及数学本质的角度解析核心内容群有助于小学数学教学策略的设计与教学资源的开发。

小学数学核心内容群；本质解析；教学设计

1 小学数学核心内容群的内涵

1.1 何为“核心”

《现代汉语词典》对“核心”一词的解释为中心，即主要部分[1]。所谓“核心”，是指在一定的领域或体系中，对事物或事情的存在提供支持和持续作用、某类领域或体系中不可或缺的部分，既可以是现实世界的存在物，也可以是精神世界的存在物。从范围层面来看，“核心”一定是针对某个领域或者体系而言，以孤立形态存在的对象没有“核心”；从时间层面来看，“核心”对事物或事情存在的支持具有持续性，其支持作用不会消失；从功能层面来看，“核心”是不可或缺的，是一个领域或体系存在的前提，具有一定的奠基作用。

1.2 何为小学数学核心内容群

数学内容是数学知识与数学思想两条主线的集中体现[2]，缺少数学知识的数学内容没有价值，缺少数学思想的数学内容没有灵魂，数学知识发生发展的过程就是数学思想形成凸显的过程。小学数学内容作为数学内容的下位概念，一方面应该具备数学内容的共同属性，另一方面又具有反映自身的特殊性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准（2011年版）》）指出：“在数学课程中，应注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”[3]

基于“核心”和小学数学内容两方面因素，我们提出小学数学核心内容群的概念，它是包括知识点、综合数学知识结构和思想方法的内容体系，具有基础性、联结性、持续性、思想性等特征。所谓小数数学核心内容群，即在小学数学的三个学习领域（数与代数、图形与几何、统计与概率）内，能够联结相应领域中不同学段的小学数学内容并为其提供持续性支持具有奠基作用的数学知识结构及其蕴含的数学思想方法。

2 小数数学核心内容群的数学本质解析

2.1 小学数学“数与代数”领域核心内容群

2.1.1 数与数量

人类很早便具有区分数量的能力，数的形成依赖于对现实世界中数量本质的抽象，但是从这种对数量的感性认知抽象到对数的理性认知却是缓慢渐进的，这种理性认知的对象便是某种群组所共有的属性（数）[4]。“数概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对人类文明的意义也决不亚于火的使用。”[5]而记数是伴随着计数的发展而发展的，十进制记数系统经历了计数、符号两个层次的抽象过程[6]。

图1 核心内容群：数与数量网络图

小学阶段“数与数量”的内容也是由现实世界的数量到数学世界数的抽象，可以从三个角度来理解：第一，数位与计数法；第二，数域的扩充；第三，数的特征分类。如图1所示，小学数学第一学段和第二学段分别接触万以内的数和万以上的数，自然数表示实现由小到大的关键在于数位与计数法的使用。数位是指在一个数中每个数字符号所占的位置，一个数字符号不仅代表自身的数值，还隐含着它所在的数位，即使是同一个数字符号，由于所在数位不同，计数单位不同，所表达的含义也就不同。在众多计数法中，我国的十进位制（满十进一，四位一级）记数体系成为普遍采用的方法。马克思认为：“中国的十进位制是最美妙的发明之一。”[7]也正是因为数位与十进制，我们才能够利用“0～9”十个数字符号表示出所有的自然数。在我国，除了利用数位记数法来表示自然数，还有一种科学记数法。在科学记数法中，如果采用十进制记数，那么我们称“10”为基底，一般来说，是几进制，基底就是几。有了基底，任意一个自然数都可以表示成基底的线性组合的形式，例如

9 527(10)=9×103+5×102+2×101+7×100”。两种记数法虽然表现形式不同，但在本质上是一致的，基底的幂是数位与进位制的合二为一。

数域扩充的根本原因在于运算，当一个数域对某种运算不再保持封闭性时，便会有新的数产生，从而再次保证运算的封闭性，实现数域的扩充。在小学阶段涉及两次数的扩充，第一次是在小学第一学段——分数的出现，这是因为自然数对于除法运算不再保持封闭，例如“2÷3”的结果不是自然数，从而需要引入分数；第二次是在小学第二学段——负数的出现，这是因为正整数对减法运算不再保持封闭，例如“2-3”的结果不是正整数，从而需要引入负数。分数的现实意义有两个，第一个意义是整体与等分，通过等分形成分数单位，这是非常重要的概念，无论是在分数的运算，还是分数的大小比较，都是以分数单位作为基础；第二个意义是整数的比例关系，体现了除法运算结果，这里需要注意的是分数是除法运算的结果（数），而不是除法运算本身[6,p13-15]。小数作为分数另外一种表示形式，它的出现比微积分还要晚100多年。如上所述，我们利用科学记数法可以得到

9 527=9×103+5×102+2×101+7×100”，

而对于9.527依然可以写成基底10的线性组合形式，即

9.527=9×101+5×10-1+2×10-2+7×10-3”，

与整数不同的是，这里用10的负整数幂表示，所以小数使分数与整数在表征形式上得到了统一。除此以外，小数另一个重要的价值在于对无理数和有理数的描述。所谓无理数是指无限不循环小数，而有理数是指有限小数和无限循环小数。负数的引入并非一帆风顺，起初人们在解方程时以否认回避的态度对待负根。古希腊数学家丢番图（Diophantus）曾将负数解视为“荒唐的东西”加以舍弃；我国唐代数学家王孝通的《缉古算经》对负根也只字不提；然而，负数作为正数的补充，来源于社会实践，并在实践的推动之下逐渐被世人公认。

我们根据自然数特征，按照不同的标准将其分类。以能否被2整除为标准分为奇数和偶数，所有的奇数用2+1（∈Z）表示，所有的偶数用2（∈Z），这对后期数列的学习有着重要作用；以因数是否只有1和自身为标准分为质数（素数）和合数。素数是数论的主要研究对象，在数论中，与素数相关的定理很多，例如欧拉函数、高斯的二次互反律、歌德巴赫猜想等等，素数为数论的发展提供了素材；而对于因数和倍数，在小学阶段，公因数为分数约分奠定基础，公倍数为分数通分奠定基础。

2.1.2 运算

运算在小学数学中开始最早，时间跨度最长，运算内容采用螺旋式组织方式，如图2所示。从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，可以将减法运算视为加法运算的逆运算，将乘法运算视为特殊的加法运算，而将除法运算视为乘法运算的逆运算。运算包含两个层面：第一，是对数字符号（常量）的四则运算；第二，是对字母符号（变量）的四则运算。在数学发展史上，数字运算施行于具体的数，而字母运算施行于事物的形式[5,p129]。从数字进行具体的演算到利用符号进行抽象的形式演算，人类经历了漫长的岁月，但无论是数字运算，还是字母运算，其本质在于算理的把握，例如在加法运算中，加一个正数所得结果一定比原来的数大。

图2 核心内容群：运算网络图

小学阶段的估算不需要精确计算来解决问题，其本质在于获得一定误差允许范围内运算结果的上界或下界，是心算、数感、算术技巧之间相互作用的过程。小学的两个学段都涉及到估算，但是侧重点有所不同：第一学段的估算主要侧重在实际情境中合理估算测量单位，例如，估计书本长度时一般采用厘米作为单位；第二学段的估算主要侧重利用合理的估算解决问题，例如9.9×5.9与50的大小关系。

2.1.3 式与方程

由“数”到“式”是学生对数的符号化表征进一步抽象的过程，“式”不是确定性的数，是可以取得不同数值的符号，而字母表示数的出现，意味着代数学的开始，第一个有意识地使用字母进行抽象运算的是法国数学家韦达[6,p32-33]。对韦达字母符号的改善工作由笛卡尔完成，他首先用拉丁文字母的前几个（，，，，……）表示已知量，后几个（，，，，……）表示未知量，形成今天的习惯[5,p129]。从理论上讲，代数是字母的算术，代数思维的本质是关系思维，其目的是发现具有一般化的关系、普遍化的结构[8]，例如用符号表示运算律、计算公式，都是将数的知识提升到一般化的水平。自此数学开始进入变量数学的时代，从常量到变量的过渡，是数到符号的转变，是具体思维到抽象思维的飞跃。变量是从数量关系上反映客观事物的运动和变化，变量的出现为方程、函数等重要概念登上数学的舞台奠定了重要的基础，对数学发展的影响是巨大的。

方程是从现实世界到数学世界的一个提炼过程，实现了数学从数量关系到等量关系的转变，其本质在于利用数学的符号表达等价关系，方程思想集中体现在建模与化归两个方面[9]。因此方程的结构包含了等量关系、代数式的运算结构以及等式变形的结构，这里所说的结构是指“从语言表达抽象出来的一种形式”[10]。而小学第二学段出现的简易方程作为刻画现实情境中等量关系的工具，其价值在于提供用代数方法解决现实问题的途径，而代数方法的出发点就是建立模型，进而促使学生形成从现实世界抽象到数学符号的建模过程，为以后方程与方程组的学习奠定基础。方程建模说明了数学与现实生活密不可分的关系，而方程的求解是利用四则运算的算术思路来计算未知数。

2.2 小学数学“图形与几何”领域核心内容群

《课程标准（2011年版）》指出：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出的图形等。”[3,p6]基于此我们将小学数学“图形与几何”的核心内容群定为图形的空间描述和图形的度量。

2.2.1 图形的空间描述

图形的空间描述是以空间视觉为基础，形成空间物体在形状、变换、位置关系等特征的属性表象[11]，包括图形的认识、图形的运动、图形的位置三部分，位于小学数学的第一学段和第二学段，如图3所示。图形的认识依赖于人们对现实世界中物体外部轮廓特征的抽象，从而实现三维空间的物体到二维平面图形的转化[12]。图形的运动和图形的位置是图形量化研究的两个重要领域，其关键在于参照系，因此它们实现的前提是笛卡尔与费马将数与图形的有机结合，创立坐标系和解析几何学[12,p119]。

图3 核心内容群：图形的空间描述网络图

在小学阶段，儿童对图形的认识基于日常生活中积累的关于图形的生活经验，通过观察、想象认识常见的立体图形与平面图形。而认识图形的关键在于图形的分类，在分类时不仅要关注图形之间的共性，还要关注图形之间的差异，例如长方体与圆柱虽然都属于空间几何体（共性），但是长方体是多面体而圆柱是旋转体（差异）。分类的关键在于制定标准，遵循某一标准进行分类的过程也是培养学生抽象能力的过程[13]。

图形的位置出现在两个学段，第一学段，描述物体所在方向，其本质是方位角的渗透。在第二学段，主要包含两部分内容：（1）利用数对描述方格纸上点的位置，其本质是直角坐标系下的数对与点的一一对应关系；（2）利用方向和距离确定事物的位置，其本质是极坐标下的数对与点的一一对应关系。小学阶段关于图形运动的基本形式有两种：一是图形的形状和大小不变，位置发生变化的刚体运动，例如图形的平移变换、旋转变换、反射变换；二是图形的形状不变，大小发生变化的相似运动，例如放缩变换。我们可以利用图形的运动来描述一些图形的相关概念，例如利用平移变换描述平行线，即通过平移得到的直线与原直线平行；利用旋转变换描述图形的中心对称；利用反射变换描述轴对称以及利用放缩变换描述图形的相似。

2.2.2 图形的度量

小学阶段图形的度量可以分为平面图形的度量和立体图形的度量，如图4所示。

图4 核心内容群：图形度量网络图

平面图形可以从长度（一维）、面积（二维）两个角度来度量，而立体图形可以从体积（三维）角度来度量。度量的本质就是图形所包含的度量单位的多少，因此度量的条件是度量单位，度量的要求是单位的统一，所以在小学数学的第一学段涉及了国际通用长度单位、面积单位的认识，第二学段涉及体积单位的认识，为图形的度量提供基础条件。除此之外，第一、二学段都涉及了估测，第一学段要求“估测一些物体的长度、给定的简单图形的面积”，第二学段要求“体验某些实物体积的测量”，例如测量一个土豆的体积，可以转化为测量与土豆等体积的规则物体的体积测量，有利于培养学生转化与化规思想[14]。

2.3 小学数学“统计与概率”领域核心内容群

如果说描述确定性现象的数学培养学生的确定性思维，那么概率与统计就是通过找出客观事物的统计规律性和随机现象中的客观规律性，来培养学生的因果推断思想和随机思想。有助于学生形成偶然中蕴涵着必然以及变与不变的辩证思维[15]，因此我们将小学数学“统计与概率”领域的核心内容群定为数据统计与随机现象。

2.3.1 数据分析

统计学的基础是数据，主要研究如何合理收集、整理、分析数据，为人们制定决策提供理论依据。可从三个层面理解数据分析。第一，对数据中蕴含信息的提取。我们所收集到的数据可能是杂乱无章的，并不能直接从中看出统计规律，所以需要对数据进行整理，提取有用的数据信息，因此数据信息的提取是数据分析前提。第二，对数据分析方法的选择。在小学阶段主要有条形统计图、扇形统计图、折线统计图等数据分析方法，不同的分析方法对应不同的问题，因此需要根据待解决问题选择合适的分析方法。如果希望得到数据中某些数量之间的差异，可以选择条形统计图；如果希望了解不同部分所占总体的百分比，可以选择扇形统计图；如果希望得到数据变化趋势，可以选择折线统计图。分析方法的选择是数据分析的保障。第三，对分析结果的预测。数据分析结果具有一定的随机性，其原因在于每次所选择数据的不同。因此在小学阶段，只能根据分析结果做出简单的判断和预测，使学生初步体会统计中因果推断的思想，分析结果的预测是数据分析的目的[16]。

2.3.2 随机现象

随机现象发生的可能性大小用概率来表示，虽然概率是未知的，但是随机现象具有统计规律性，这种统计规律是一种总体规律，一定是在大量同类随机现象中才能呈现，它的存在构成了或然数学的研究基础[17]。在小学阶段，要求学生感受随机现象，我们可以从两个层面理解随机现象：第一个层面是对随机现象本身的认识；第二个层面是对随机现象的合理解释[18]。列出简单的随机现象中所有可能发生的结果（基本事件），体会随机现象结果发生的可能性大小（概率），对其做定性的描述，这些内容为古典概率模型（古典概型）的学习奠定基础。小学阶段关于概率的学习，重点在于借助现实情境，通过大量的重复试验，利用频率来感悟概率。例如抛硬币正面向上的概率，可以通过总结事件发生的频率变化趋势而得出。随着抛硬币试验次数的增多，正面向上的频率在0.5上下波动（如表1），可以估计硬币正面向上的概率为0.5，其依据为频率是概率的估计值，而概率是频率的稳定值。

表1 抛硬币正面向上的频率变化趋势[19,p216]

3 小学数学核心内容群教学设计分析

在教学设计中，不同学段相同学习领域内所对应的相关数学内容采用螺旋式组织形式，渐次提高所重复学习的主要概念和观念的深度和复杂程度，使小学数学核心内容群与学生内部心理过程综合起来，在不同学段对其他小学数学内容提供动态支持，这种支持不仅包括数学概念、定理和公式等人们在长期数学活动中形成的间接经验，还包括学习者通过自身的观察、操作、比较、分析、归纳、概括等活动而获得的直接经验，下面以“字母表示数”与“分数乘法”的教学设计片段为例进行分析。

3.1 字母表示数中的数量关系

“字母表示数”属于式与方程，是小学生初步接触数学抽象的内容，既是对数的学习的总结，也是对式的学习奠基，具有承上启下的作用。在教学中，教师用《数青蛙》儿歌来引导学生理解用字母表示数[19,p58]：

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。

两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。

三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。

……

让学生边拍手边有节奏地数青蛙，与此同时课件出现很多青蛙，直到数不清，这时教师提问：我们可以用今天所讲的内容将这首儿歌数完吗？

学生在练习纸上填写：

生1：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。

生2:a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿。

生3:a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。

生4：a只青蛙a张嘴，aa只眼睛aaaa条腿。

生5:只青蛙张嘴，2只眼睛4条腿。

在实际教学中，能够真正说出第五种答案的学生，其实并不多，大部分表现为第二种、第三种。与成人思维不同，小学生对于字母表示数难以理解，主要原因在于：（1）字母表示数体现了数学的抽象，这个学习过程是学生从具体数字到抽象字母的转变过程，是从算术思维向代数思维的转变过程，体现了数学符号意识；（2）在教学中，大部分教师会反复强调“字母可以表示任意数”，这是导致学生出现第二种或第三种答案的主要原因，学生只关注到字母可以表示任意数，没有明确数量之间的关系。

字母表示数的本质在于描述数量之间的关系，这种关系体现了一般性，当我们用a、b、c、d表示任意数的时候，更应该说明它们之间的关系，符号化有助于数量关系理解，学生利用符号或者图形来表示量与量之间的关系，让符号在表达时产生数学意义，这种符号化表达使数量关系具有一般性，在这个过程中，实现了由常量到变量的过渡。学生要学会用符号或者符号组成的比例关系、方程等模型去描述、分析、解决数学问题。还可以运用字母表示以前学过的法则和公式（如加法运算律、乘法运算律、长方形面积公式、圆柱体积公式、路程速度时间的关系），在表示公式和法则的活动中，学生将进一步体会字母的“概括”作用，从而运用字母及其运算可以表示一般的规律。

3.2 分数乘法中的几何直观

生：一个是乘以整数，一个是乘以分数

师：今天重点研究分数乘分数（板书），这对于我们来说是一个新的挑战。对于这样一个新的问题，我们用什么方法来研究？

生：可以用画图的方法？

师：怎么想到的？

生：以前用画图方法研究分数的：

图5 分数乘法图形表示

4 结语

数学核心内容群是小学生数学核心素养的重要载体，在数学课程中起到主线的作用，贯穿整个数学教学。经过由古至今的漫长发展，现代数学已经是一个分支众多的知识系统，孤立的数学内容是不存在，小学数学内容作为整个数学知识系统的缩影，是众多数学内容按照一定的学科逻辑顺序和学生认知结构顺序而进行的有效组织，小学数学核心内容群或者以本源内容的形式，或者以小学数学内容主线的形式体现。聚焦小学数学核心内容群进行教学设计，能够实现数学课堂的有效教学。

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The Core Content Cluster of Elementary School Mathematics: Essence Analysis and Teaching Design

WU Li-sha

(Department of Mathematics and Information Sciences, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

The core content cluster of elementary school mathematics can connect different learning section of primary school mathematics in three areas of study including number and algebra, graphics and geometry, statistics and probability. And it provides persistent and fundamental mathematical knowledge structure and mathematical thinking method. The feature of core content cluster is associativity, persistence, foundation and ideology. From the perspective of the development and the essence of mathematics, the core content cluster is beneficial to the design of teaching strategy and the development of teaching resources in elementary school mathematics.

core cluster of elementary school mathematics; essential analysis; teaching design

G622.3

A

1009-9115(2019)03-0130-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.032

河北省高等学校人文社会科学研究项目（SZ18058），河北省教育厅人文社会科学重点项目（SD182012）

2019-01-20

2019-02-22

武丽莎（1986-），女，河北唐山人，硕士，助教，研究方向为数学课程与教学论。

（责任编辑、校对：高俊霞）