数学追本溯源之差角余弦公式的四种推导证明

谷耀东 李博

摘 要：本文横纵对比教材的变新过程，分别从圆的内接四边形、单位圆、向量、三角形四个角度给出推导证明，旨在追求数学知识的通透理解。

关键词：差角;余弦公式;推导证明

一、 前言

在我们的高中数学教材中，很多三角问题都经受了岁月的洗礼，比如差角余弦公式的推导，从托勒密时代开始，数学家们就运用各种方法来进行证明。对比普高、职高、技工、中专等教材，以及人教A、B版、苏教和北师大版本教材，差角余弦公式的证明采用了几种不同的证法。

二、 四种推导证明的思路和方法

（一） 借助圆的内接四边形

首先要介绍托勒密定理：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

如图1，设圆O的直径AC=d，∠ACD=β，∠BAC=α，则AB=d·cosα，CD=d·cosβ，BC=d·sinα，DA=d·sinβ。

过点D作直径DE，连接BE，△DBC中，∠BDC=∠BAC=α，在△DOC中，∠ODC=β，∠BDE=α-β，所以在Rt△BDE中，BD=d·cos（α-β）。

由托勒密定理得：dcosβ·dcosα+dsinα·dsinβ=d2·cos（α-β），即cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

（二） 借助单位圆三角函数线

借助三角函数线证明。设角α的终边与单位圆交于点A，角β=∠AOB，则∠BOx=α-β。过点B作BC⊥OA，交于点C，过C作CD⊥x軸，则作BE⊥CD，BF⊥x轴。在△OBC中，OC=cosβ，BC=sinβ，在△ODC中，OC·cosα=OD，OC·sinα=CD，在△BEC中，BC·sinα=BE。所以cos（α-β）=OD+DF=OD+BE=OC·cosα+BC·sinα=cosα·cosβ+sinα·sinβ，差角余弦公式得证。注意，公式中的α和β可以为任意角。

（三） 利用向量推导差角余弦公式

同样在单位圆中，设OA=（cosα，sinα），OB=（cosβ，sinβ），OA·OB=cosα·cosβ+sinα·sinβ，又存在k∈Z，使得α-β=〈OA，OB〉+2kπ可或α-β=-〈OA，OB〉+2kπ，所以OA·OB=|OA|·|OB|·cos（α-β）=1·1·cos（α-β），故cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ，得证。可见，这是差角余弦公式证明方法中最简单的一种。

（四） 构造直角三角形

在三角形中，假设△ABC是以∠A为钝角三角形，延长BA，过C作CD⊥BA的延长线，过A作AE⊥BE，过E作EF⊥CD，交CD于F。设∠DCB=α，∠ACB=β，CE=m，则在△CEF中，CF=m·cosα。又∠AEF+∠CEF=90°，∠α+∠CEF=90°，则∠AEF=∠α。AE在CD边上的射影FD=AE·sinα，所以CD=CF+FD=m·cosα+AE·sinα=tanβ·m·sinα+m·cosα。又在△ACD中，CD=AC·cos（α-β）=mcosβ·cos（α-β），所以tanβ·m·sinα+m·cosα=mcosβ·cos（α-β），即tanβ·sinα+cosα=1cosβ·cos（α-β），故化简得cos（α-β）=cosβ·tanβ·sinα+cosα·cosβ=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

同理，如图2，假设△CDE是锐角三角形，过D作DB⊥CD，延长CE交DB于B，过E作EA⊥CE，交BD于A，连接CA，过E作EF⊥CD于F。设CE=m，∠ECD=α，∠ECA=β，则证明过程同上。

三、 差角余弦公式证明方法总结

本文的差角余弦公式是和（差）角正（余）弦公式中最基本的一组公式，其推导证明对学生发散思维，深入探究有很大帮助。本文探究基本分为4步：

1.明确证明目标，构造α、β及cos（α-β）的等式或方程;

2.寻找解决平台，利用圆、单位圆、向量、三角形作为背景平台，寻找我们希望的等式关系;

3. 构造数据，分类推导证明;

4.化简整理，得出结论。

四、 结语

差角的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此差角余弦公式作为要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注。从四种不同的推导证明过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，但有相同的结果，也进一步体验了数学的博大精深。对于吃透数学定义的本质，提高学生的提出问题、分析问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用。

参考文献：

[1]人民教育出版社B版数学必修4[M].北京：人民教育出版社，2007：133.

[2]俞昕.从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导[J].中学数学杂志：2015（3）：10.

作者简介：

谷耀东，辽宁省大连市，大连市旅顺第二高级中学;

李博，辽宁省大连市，大连市旅顺口区新城实验学校。