从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导

近期观看了科幻大片《星际穿越》，影片中出现了虫洞、黑洞、第五维空间等一些星际概念，让人感觉宇宙中充满了奇妙的变换.宇宙的研究当然离不开数学，数学是一切自然科学之王，而数学中也充满了各种奇妙的、令人着迷的变换.三角变换就是其中之一，有些人认为三角学是古老的数学，应该弱化.但从现行高中数学教材来看，仍是对三角学比较重视，确实三角学属于经典数学中的知识，之所以经典有其原因所在，三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想，是开启学生数学智慧之门，引起学生数学探究欲望的良好素材.

数学变换方法有着深刻的哲学思想基础，这是因为辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化[1].由于数学变换方法充分体现了联系、运动、转化的观点，它对数学教育研究必然是有启发性的.下面以“两角差的余弦公式”推导为例，从变换的视角赏析其生成方式.

1公式推导前奏——两锐角差的余弦公式

从学生认知特点的角度出发，从特殊到一般是比较符合学生认知规律的.所以一般可以考虑从两锐角差的余弦着手，比如cos（45°-30°）=？有各种变换方法可以求出此三角函数值.

1.1数学动手实验中的变换

明代学者与军事家王守仁说：“知是行之始，行是知之成.”而陶行知老先生说：“行是知之始，知是行之成.”“墨辩”提出三种知识：亲知、闻知、说知.亲知是亲身得来的，就是从“行”中得来的，闻知是从旁人那儿得来的，或由师友口传，或由书本传达.说知是推想出来的知识.陶老先生拿“行是知之始”来说明知识之来源，并不是否认闻知和说知，乃是承认亲知为获取一切知识之根本.闻知与说知必须安根于亲知里面方能发生效力.古今中外第一流的真知灼见无一不是从“做”中得来，也就是说“教学”要以“做”为主.浙江省高中数学特级教师冯寅老师也曾经强调“动手”与“动脑”图1并重的观点.我们可以尝试让学生在动手操作数学实验的过程中推导出两锐角差的余弦公式.

（1）你能用这两块三角板（如图1）拼出哪些角度呢？

（2）你能用它们拼出15°的角吗？

（3）你能否利用所拼出的图形（如图2或如图3）求出cos15°的值呢？

（4）若将上面的45°和30°角分别改成锐角α和β，那么会有怎样的结论？cos（α-β）=？

1.2物理学做功中的变换

正如文首提及的影片《星际穿越》中诸多的数学变换，物理学中蕴含着丰富的数学变换.我们可以探寻高中学生熟知的物理知识，挖掘其中“两锐角差余弦公式”.下面以物理学中“做功”为例尝试让学生挖掘出其中“两锐角差余弦公式”的模型.

如图4所示，一个坡度为30°的斜坡.已知作用在物体上的力F与水平方向之间的夹角为45°，且大小为10N，在力F的作用下，物体沿斜坡运动了2m，求力F作用在物体上的功W.

学生很快就分析出W=10cos15°·s=20cos（45°-30°）=？学生由此做功问题提炼出图5所示的“两锐角差余弦公式”的模型，其中∠BCD=90°，∠ABC=30°，∠DBC=45°，AH⊥BD.不妨设AC=1，则可以迅速求出cos15°=6+24.将特殊角替换成一般角便可以得到两锐角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.其间也涉及到一些学生已经学过的三角变换，在推导新公式的同时，也是对之前三角变换知识的回顾与应用.因此，这种推导方式可以让学生从实际问题情境中提炼出两锐角差的余弦公式的模型，感知数学知识来源于实际，运用于实际，自然界万事万物中都蕴含着丰富的数学变换.

1.3三角起源弦图中的变换

公元3世纪末，亚历山大数学家帕普斯在《数学汇编》中给出命题[2]：如图6，设H是以AB为直径的半圆上的一点，CE是半圆在点H处的切线，CH=HE.CD和EF为AB的垂线，D、F是垂足，则（CD+EF）·CE=AB·DF.认识“弦图”，从平面几何中发现两锐角差的余弦公式.

可以为学生搭建脚手架：（1）如图7所示，设∠HOF=α，∠COH=β，试用α、β表示∠EOF；（2）不妨设OC=OE=1，试用线段（比）分别表示sinα、cosα、sinβ、cosβ以及cos（α-β）；（3）试探究cos（α-β）与sinα、cosα、sinβ、cosβ的关系.

以上的推导过程体现了数学是一种文化，在教学过程中适当的融入数学史知识，让学生寻求数学进步的历史轨迹，领会数学的美学价值，提高学生的数学文化素养.三角学的历史源远流长，起源于天文观测和历法推算，是几何问题代数化的典例.在教学过程中，如果融入三角学的历史知识，引导学生了解三角学的发生发展历程，使学生在探究活动中不仅知其“源”，而且知其所原，则既能使教学充满浓郁的文化气息，又能随数学的发展而与时俱进.

此外，古埃及天文学家托勒密利用两角和、差的三角关系绘制了现存最早的三角函数弦表，在天文学和测量计算中有很重要的应用.制作弦表的原理如图8所示.此原理与人教A版上的方法（如图9所示）有异曲同工之妙.

1.4面积中隐含的变换

数学的魅力在于他能让人惊叹于数学的各种奇妙的变换，一个普通的图形当中竟然也能蕴藏着“两锐角差的余弦公式”，如图10所示.通过简单的三角形等积就可以非常简单的得到“两锐角差的余弦公式”[3].

此种变换还有很多，在此不一一举例.这是让学生体验数学魅力的良好素材，新课程改革大力提倡选修课程的开发与开设，而一线的很多数学教师却苦于没有好的素材，其实，好的素材“远在天边近在眼前”，我们的教材中就蕴含着丰富的素材.就以“两角差的余弦公式”为例，我们可以将其推导过程开发成一堂或是一系列选修课程，作为必修课程的选修化，既能拓展学生的数学视野，也能激发学生数学探究的热情.也可以将这些素材开发制作成微课，通过翻转课堂的形式让学生进行自主探究或合作探究，撰写有关“两锐角差的余弦公式”的数学小论文，用足教材中的内容，也迎合高考“源于教材，高于教材”的精神.

2角度范围推广——两任意角差的余弦公式

在学习三角函数的初始，学生首先遇到的问题就是将初中里的特殊角推广到任意角，如何推广？那便是引进直角坐标系.

2.1诱导公式的化角变换

笔者觉得在三角的教学中，有些教师往往忽视“诱导公式”的强大功能，只是单纯让学生记住“奇变偶不变，符号看象限”，会熟练的运用诱导公式解题就可以了.殊不知蕴含于诱导公式中的数学本质是“化角变换”，将任意角通过诱导公式转化为0～2π之间的角，再进一步将π2～2π之间的角转化到0～π2之间的角，所以“两任意角差的余弦”肯定可以通过诱导公式转化为“两锐角差的余弦”（轴线角可以单独验证）.因此，从诱导公式化角变换的角度来看，问题可以得到合理的解释.

2.2旋转中的变换

人教A版选修42《矩阵与变换》介绍了旋转变换.如图11所示，在直角坐标系xOy内，作单位圆O，设α、β角的始边都为Ox、终边分别图11交圆于A、B.这时，得到两点间的坐标分别为A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）.由两点间的距离公式，并整理得|AB|2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）①.再以OB为横轴，建立新的直角坐标系x′O′y′，使其单位长与原坐标系相同.在新坐标系中两点坐标为A（cos（α-β），sin（α-β）），B（1，0）.同样，由两点间的距离公式，并整理得|AB|2=2-2cos（α-β）②，由①②便可得两任意角差的余弦公式[4].

有心的老师一定还记得人教社全日制普通高中教材中也是运用类似的变换来推导“两任意角差的余弦公式”的.只不过不是旋转坐标轴，而是旋转点（在此不累述，详见人教社全日制普通高中教材）.旋转变换是相对的，数学中很多问题通过旋转变换可以得到快速解决，比如可以用旋转变换求12+22+33+…+n2，运用如图12所示的旋转变换可以很快得到结果.

2.3向量中的变换

向量是联系代数、几何、三角的桥梁，是现代数学中必不可少的工具，它可以使一些复杂问题简单化，因为它插上了数形结合的翅膀.人教A版教材有意识地将《三角恒等变换》置于《平面向量》之后，并且运用向量数量积运算简洁证明了“两任意角差的余弦公式”，让人耳目一新.此证明过程中的叙述看起来很浅显，论述也不深奥，但它是以运动的、变化的观点来研究数学问题.这种证明方法不但能促进学生数学认知结构的发展，而且能够帮助学生逐步学会用辩证法的观点来思考问题、分析问题和解决问题.因此，教师可以好好利用向量变换引出来的结果（两任意角差的余弦公式）帮助学生形成更高层次的数学认知结构.

3结束语

有些教师认为两角差余弦公式的推导过程不重要，重要的是公式的运用.但我们从上面各种变换的角度赏析两角差的余弦公式，发现公式推导的各种变换中蕴含着丰富的数学思想.若是在公式推导环节，教师舍得不吝啬时间，浓墨重彩的画上靓丽的一笔，想必会给学生留下“数学是有趣的、是美丽的、是有用的”这样美好而又深刻的印象.

参考文献

[1]张维忠，宋秀红.略论数学变换方法对数学教育研究的启示[J].数学教学研究，1993（8）.

[2]陈清华，徐章韬.既基于历史，又与时俱进高观点下的“两角和与差的正、余弦公式”教学设计[J].中小学数学，2013（9）.

[3]金国林.将无字证明引入课堂——《两角差余弦公式》教学有感[J].数学教学，2010（7）.

[4]姚军.从两角和的余弦公式证明的演变谈起[J].数学教学，1997（8）.

作者简介俞昕，女，1977年生，浙江湖州人，中学高级教师，硕士.主要研究方向：数学文化、数学校本课程等.