5.5.1两角差的余弦公式(第1课时)

胡晓翠

一、内容和内容解析

1. 内容

两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用。

2.内容解析

教科书关于本节三角恒等变换安排了以下内容：两角差的余弦公式;两角和与差的正弦、余弦、正切公式;二倍角的正弦、余弦、正切公式. 中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索、证明和初步应用，体会和认识公式的特征和功能，发展学生逻辑推理素养和数学运算素养。

类比5.3节中用到的圆的特殊对称性，此处用到的是圆的更一般的对称性，即旋转对称性. 这种特殊与一般的关系，蕴含着诱导公式与两角和（差）公式之间的特殊与一般关系.两角差的余弦公式是两角和的正弦、余弦、正切公式的基础，为后面公式的推导起了铺垫作用。

综合以上分析，确定本节课的教学重点：两角差余弦公式的应用. 教学难点：两角差的余弦公式的形成（推导过程）。

二、目标与目标解析

1.目标

（1）让学生经历推导两角差的余弦公式的过程，了解两角差余弦公式的意义。

（2）能够掌握两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用。

（3）学生能够通过观察和分析公式的结构特点，从整体上把握公式，灵活地运用公式，抓住角的特点解决问题。

2.目标解析

（1）学生亲身经历了探索过程，加强了新旧知识的联系，使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认知。

（2）学生在教师的引导下，探索和证明两角差的余弦公式，根据圆的旋转对称性，结合初中圆的知识以及两点间的距离公式，以小组合作交流的形式，确定公式的具体形式，再通过例习题，巩固和加强对公式的理解和应用。

（3）学生在教师的引导下会适当地运用转化、代换的方法配凑出使用公式的形式，抓住角的特点解决求值、求角、求函数最值等问题。

三、教学问题诊断分析

学生在本节课前已经学习了三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象与性质等，对三角函数已经有了初步的认知，前面的内容学习的是同一个角的问题，现在继续学习的是关于两个角的和与差的三角函数形式，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的。

学习本节内容时学生可能会在以下方面感到困惑：

1.如何生成两角差的余弦公式. 这个困惑主要发生在公式生成过程中如何将点坐标和公式联系在一起，在这个问题中，我们可以引导学生类比5.3诱导公式的探究过程，从形的角度入手研究，再将形的关系代数化，从不同的角度进行表示，体现数形结合的思想方法，最后则体现联系性，即图形本身的直观性质. 本节力图体现圆的旋转对称性与三角函数的内在联系，从而证明两角差余弦公式。

2.如何利用平面上两点间距离公式建立等式关系. 对于这个问题，学生可以在教师的引导下一起完成。

3.如何从公式的结构特点灵活运用公式（包括对公式的正用、逆用、变用）.这也是本节课的重点，在这里需要学生会观察、会分析角的特点，灵活运用适当的转化、代换的方法，再结合公式解决问题。

四、教学支持条件分析

使用导学案，引导学生逐步探索两角差余弦公式，体验提出问题、分析问题和解决问题的愉悦感。

五、教学过程设计

（一）复习引入

问题1：在初中，我们就知道，，由此我们能否得到cos15°=cos（45°-30°）的值？大家可以猜想，是不是等于？

师生互动：学生回答不等于，cos15°大于0，cos45°-cos30°小于0，显然不成立。

设计意图：为研究两角差余弦公式做铺垫。

（二）新知探索

1.公式的形成

问题2：预习教科书215页，由图5.5-1，你能根据三角函数的定义，写出点A，P，A1，P1的坐标吗？

师生互动：学生表示

追问1：图中弦长AP和A1P1什么关系？你能用两点间的距离公式表示弦长AP和A1P1吗？

师生互动：学生结合初中圆的平面几何知识，根据圆的旋轉对称性得出，AP=A1P1.在教师的引导下，用两点间的距离公式分别表示弦长

追问2：由弦长AP=A1P1，你能得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ吗？如何推导？

师生互动：学生回答能，由AP=A1P1，即，两边平方整理得，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ. 教师总结，确定公式的具体形式。

追问3：上述公式在时成立，若时，公式是否还成立？

师生互动：成立，师生共同总结两角差余弦公式.，都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ称为差角的余弦公式，简记作C（α-β）。

设计意图：让学生亲身经历探索公式的过程，加强学生对公式的理解与记忆，培养学生直观想象和数学运算的核心素养。

2.公式的应用

师生互动：学生独立思考，教师巡回指导，提醒学生注意角的范围，同时请两位学生到黑板上进行板演，由α，β的范围知，，则. 同时教师对板演过程规范做出必要的点评与要求。

设计意图：加强学生对公式的应用与理解，以及使用公式前应做出的必要准备。

（三）归纳总结、布置作业

问题3：请归纳总结本节课的学习收获

师生互动：学生各抒己见，教师适时补充总结. 这节课我们学习了两角差的余弦公式，首先要认知公式的结构特征，了解公式的推导过程. 同时也要注意角的范围，也就是符号问题，学会灵活运用公式，这也是本节课的重点。

设计意图：让学生通过总结，反思学习过程，加深对差角余弦公式及其推导过程的理解和记忆。

布置作业：作业本109页基础训练部分

六、目标检测设计

1.已知，求cosα的值。

设计意图：提升学生对两角差余弦公式的灵活应用能力，会观察已知角和未知角的关系，如本题，从而构造差角公式的结构形式，，最后只需求出的值，在这里我们要注意角的范围，由题意知，即。

2.设，

设计意图：本题同上题一样考察学生对差角公式的运用能力，如何构造差角是本题的难点，对初学差角公式的学生而言，角的构造有一定的运用难度，需要学生多观察、多思考、多练多做. 如本题，由两角差余弦公式展开，只需求的正弦值和的余弦值，其中要注意角的范围。

浙江省绍兴市嵊州市嵊州中学 312400