引例探究圆锥曲线的中点弦问题

☉浙江省安吉县昌硕高中 李金林

直线被椭圆截得的线段称为椭圆的弦，若弦的中点确定，则直线随之确定.此类问题我们常称之为圆锥曲线的中点弦问题.处理此类问题的常用方法是“点差法”.下面以一道2018年的高考题为例，对涉及中点弦的有关问题进行探究.

例1（2018年全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，直线l的参数方程

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率.

本题以直线和曲线的参数方程为背景，应先将直线与曲线的参数方程化为直角坐标方程，再利用平面几何与解析几何的方法解题.

下面探究第（2）问中点弦问题的处理方法.

（2）解法一：设直线l与椭圆C的交点为

结论1：若直线l与椭圆（ ）相交于=1a＞b＞0 M，N两点，且线段MN的中点为P（x0，y0），则直线l的斜率

类似地，也可将此结论拓展到双曲线和抛物线.

结论2：若直线l与双曲线C（a＞0，b＞0）相交于M，N两点，且线段MN的中点为P（x0，y0），则直线l的

例2已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程为（ ）.

因为kAB=

又因为F（3，0）是E的焦点，所以c=3，c2=a2+b2=9. ②

由式①②可得a2=4，b2=5，故E的方程为

正确选项为B.

结论3：若直线l与抛物线C：y2=2px（p＞0）相交于M，N两点，且线段MN的中点为，则直线l的斜率为

例3设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于______.

解析：设点Q的坐标为（x0，y0）.因为

由①②可知y0=±2.故直线l的斜率等于±1.

最后再给出例1第（2）问的另外几种解法，供参考.

解法二：设直线l与椭圆C相交于A，B两点，A（x，y），则B （2-x，4-y），将点A，B的坐标代入椭圆方程得两式相减得即y=-2x+4，所以直线l的斜率为-2.

评析：此法与解法一有异曲同工之妙，两式作差之后，所得关于x，y的二元方程，即直线l的直角坐标方程.

解法三，整理得关于t的二次方程

4+4tsinα+t2sin2α+4（1+2tcosα+t2cos2α）-16=0，

整理得（1+3cos2α）t2+（4sinα+8cosα）t-8=0.

结合已知条件得t1+t2=0，即2cosα+sinα=0，进而得tanα=-2，即直线l的斜率为-2.

评析：本解法充分利用了直线参数方程中参数t的几何意义：|t|表示直线l上任一点P（x，y）到定点P0（x0，y0）的距离.当点P在P0上方时，t＞0；当点P在P0下方时，t＜0；当点P与P0重合时，t=0.对于形如（t为参数），当a2+b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用参数t的几何意义解题.

整理得 （tan2α+4）x2+（4tanα-2tan2α）x+（tanα-2）2-16=0.

解得tanα=-2.

所以直线l的斜率为-2.

评析：应用此方法也可将直线l的直角坐标方程与椭圆方程联立，即消元后，利用根与系数的关系求解.