☉福建省福州华侨中学 覃光勋
☉湖北省武汉市第49中学 周 镜
在数学的课堂教学中,学生往往埋没于数学的题海、教师的讲解之中.教师讲得多,学生做得多,久而久之,学生逐渐失去学习的兴趣,丧失发现问题、提出问题、解决问题的能力,仅仅成为解题的机器,从而缺乏探究能力.利用变式方法采用一题多解、一题多变的课堂数学探究形式,引导学生积极探索,不但能提高学生的学习兴趣,而且对于提高学生的运算能力、优化解题思路、增强逻辑推理能力都有很大的好处.本文就抛物线一节作如下说明.
例1斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
学生容易给出解答:由题意,可求出直线方程,与抛物线方程联立,可求出A、B两点的坐标,利用两点间的距离公式,求出线段AB的长为8.
教师给出下列变式,进一步揭示直线与圆锥曲线的关系:
变式一:若直线AB的斜率为k,则线段AB的长为多少?(揭示弦长公式,求弦长的实质是根与系数的关系的应用)
变式二:若过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于
变式三:倾斜角为θ的直线过抛物线y2=2px(p>0)的
变式四:例1中,若弦长|AB|=8,求直线的斜率k;
变式五:例1中,若弦长|AB|不超过8,求直线倾斜角θ的取值范围.
通过以上变式教学,对问题进行迁移,学生不仅全面掌握与圆锥曲线弦长有关问题的解法,而且增强了学生的创新意识和应变能力.
例2已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值.
解:设,AB的中点为M(x,y),抛物
图1
因为|AF|+|BF|≥|AB|=2,(当且仅当AB过点F时,|AF|+|BF|=2)所以所以点M纵坐标的最小值为
这道题利用数形结合的思想,充分应用抛物线的定义,解答过程简洁明快,似乎问题已得到完美解决.但将问题作如下改变呢?
变式:例2中的动弦AB的长为求AB中点纵坐标的最小值.
分析:乍一看,似乎和例2类似.实际上,抛物线y=x2的通径长为1,而通径为抛物线过焦点的弦中弦长最短的.动弦的长为显然,动弦AB不可能过抛物线的焦点,即等号不能取得,当然也就不能再用例2的解法了.
显然,例2也可用此法解答.通过变式教学,让学生从“变”中发现“不变”的本质,从“不变”中探索“变”的规律,从而优化学生的思维品质,培养学生发现问题和解决问题的能力与素养.
例3已知M为抛物线x=y2上的动点,定点A(1,0),求|MA|的最小值.
解:设M(x,y)(x≥0),
变式一:M为抛物线y2=4ax(a>0)上的动点,当M到A(1,0)的距离|MA|最小时,M的位置为M0,若|M0A|<1,求a的取值范围.
解:设M(x,y)(x≥0),
变式二:在一轴截面为抛物线型的酒杯中,放入一半径为r的玻璃球,抛物线的方程设为x2=2py(p>0),当r在什么范围内时,玻璃球会触及到酒杯底部?
解法一:因为圆心在y轴的正半轴上,所以设圆的方程为x2+(y-r)2=r2.
则y1=0或y2=2r-2p.
由题意,圆与抛物线有且只有一个交点,且交点为原点.
所以2r-2p≤0.所以0<r≤p.
解法二:由题意知圆心C(0,r),
则C与抛物线上的点的距离的最小时,抛物线上的点为原点.
设M(x,y)为抛物线上任意一点,则
(1)若r-p≤0,即0<r≤p,则当y=0时,|MC|2min=r2.
(2)若r-p>0,即r>p,则当y=r-p时,|MC|2min=2pr-p2.
令2pr-p2=r2,所以r=p(舍去).
所以0<r≤p.
变式一也可用解法一来求解,视作圆(x-1)2+y2=1与抛物线y2=4ax有且只有一个交点,且交点为原点.
例3也可用此法.这种变式教学,逐步加大难度,分散难点,注重运算过程,让学生感受到成功的喜悦,加强学生学习的信心,提高学生学习的兴趣,同时也培养学生严密的数学思维.
在重视基础知识、基本能力的同时,恰当地进行变式教学、变式练习,优化课堂教学,多角度思考问题,是一种再创造性的学习过程,是培养学生运算能力、推理探究能力和实施研究性学习的重要途径.
总之,数学的魅力就在于“变”,有“变”才有“活”,在这当中,设计适当的变式,可以给学生提供一座桥,让学生在已知的水平和未知的水平之间自然过渡,这里的最近发展区要把握好.“变式”能避免学生反复的练习同一题型,避免学生在低层次之间反复的重复,从而使学生的思维能力得到更宽、更广、更深的培养,使学生的数学核心素养得到有效的渗透.