由“分离参数法”浅谈例题教学的有效性

☉江苏省海门中学 姜敏华

注重学情分析、注重练习与及时反馈、注重揭示数学本质的例题教学往往能令学生在收获喜悦与成功的同时对数学思想方法与数学知识迁移形成更多的思考和领悟.

一、问题的提出

原题已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1）在区间［2，3］上有最大值4，最小值1，设函数（1）求a、b的值；

（2）若不等式f（2x）-k·2x≥0在区间x∈［-1，1］上恒成立，求k的取值范围.

1.参考答案

解：（1）a=1，b=0.（过程略）

考生的答案中不乏解法烦琐、分类讨论不完整等问题.

方 法1：由（f2x）-k·2x≥0得-2-k·2x≥0，即（2x）2+1-2x+1-k·（2x）2≥0.令t=2x，t］，则（1-k）t2-2t+1≥0.设h（t）=（1-k）t2-2t+1，作出其图像并结合区间对开口方向、对称轴进行分类讨论即可解决此题，但答案中分类讨论不完整的现象比比皆是.

方法2：由（f2）x-k·2x≥0得令t=2x，，构造函数h，结合导数法求得h（t）的最小值为0.

评析：此题满分是10分，但全年级的学生在此题上

2.考生解答中的问题

的平均得分仅5.6分.第（1）问的得分情况较好，但第（2）问的得分率很低，笔者在批阅试卷时也发现了考生不习惯用“分离参数法”或分类讨论不完整的情况.

二、调查

笔者在试卷的分析上进行了详细的调查，与命题老师、同轨教师、部分学生进行了交流以弄清楚学生在此题上得分较低的原因.

命题教师：这是一道比较简单的送分题.

同轨教师：分离参数法是我强调过很多遍的方法，但学生的掌握情况仍旧不理想.

学生：分离参数法在老师眼里比较简单，但对于我们来说很陌生，分离后构造函数对于我们来说也是比较有挑战性的，比如在本题中构造函数h然后想到利用导数法并求得h（t）的最小值是0，答案没错，不过解题耗时较长.

三、例题教学有效性的思考

笔者在本次考试结束之后开设了一节分离参数法的复习课，着眼于经典例题的教学以促进学生对分离参数法的真正掌握.

1.注重学情分析

教学目标的设定离不开教师对学情的分析，建立在恰当学情分析上的教学目标才是符合实际的有效引领，因此，教师首先应对学生已有的知识经验、心理认知特点进行准确的把握并因此确定其最近发展区，只有这样，教师才能在教学设计中确立准确的教学方向和教学重难点.

在分离参数法这一内容的教学中，教师首先应对分离参数法的本质及其作用进行深入的理解，在此题的解题教学上，教师首先可以引导学生将自己的解法全部展现出来，在学生将分类讨论和分离参数法呈现出来之后，教师与学生再对这两种方法进行分析和评价，将这两种方法的优点和问题作具体的评析：方法1较为基础但在讨论的完整性上学生有所欠缺，方法2学生较难获得，但在参数能够分离的情况下运用此法明显更为简捷.

2.注重练习和反馈

桑代克在行为主义学习理论的研究中曾经就反馈的作用进行了实验，实验结果肯定了及时反馈对于行为的积极作用.因此，行为主义学习理论认为练习加反馈对于学习来说具有积极的意义.将这一理论用于数学教学中一样有价值，很多教师在平时教学中比较忽视练习与测试的分析，只是在例题教学中不断重复着演示、训练、强化的教学模式，教学的结果不能及时且有效地反馈给学生，学生练习的效果自然不可能得到提升.因此，教师在例题教学中一定不能忽略练习加反馈的价值和意义并要进行有效的落实，只有这样，学生才能够获得高质量的学习成果.比如，在分离参数法的教学中，教师就可以采取题组教学法来帮助学生对这一方法产生好感继而形成理解.

题组1：（二次函数零点分布问题）（1）关于x的一元二次方程x2+（m-1）x+1=0在区间［0，2］上有解，求实数m的取值范围；

解析：（1）x2+（m-1）x+1=0化为mx=-x2+x-1，显然x=0不是方程的解，因此m=-）+1（0＜x≤2）.令g（x）=，设g（x）的值域为M，则问题转化成了m∈M，从而求得m≤-1.采用分类讨论法解决此题就比较麻烦了.

题组2：（1）已知函数（fx）=x3+ax2+x+1，a∈R，设函数（fx）在区间）内为减函数，求a的取值范围；

（2）已知函数（fx）=x3+ax2+x+1，a∈R，若函数（fx）在区间（-∞，0）内存在单调递减区间，求a的取值范围；

（3）已知关于x的不等式x2+ax-2＞0在区间［1，5］上有解，求a的取值范围；

（4）已知关于x的不等式x2+ax-2＞0在区间［1，5］上恒成立，求a的取值范围.

解析：（1）由函数（fx）=x3+ax2+x+1，a∈R，在区间）内为减函数，则在区间）内f（′x）≤0恒成立，即3x2+2ax+1≤0⇔2a≥-.又因为函数］上的最大值为4），则a≥2.

（2）因为函数（fx）在区间（-∞，0）内存在单调递减区间，从而f′（x）＜0在（-∞，0）上有解

（3）由x2+ax-2＞0得-x，x∈［1，5］，a＞［g（x）］min；

（4）同（3）得a＞［g（x）］max.

说明：题组1中的两个小题以及题组2中的（1）（4）、（2）（3）在题目结构上是相同的，解法也类似，笔者在题组教学中首先要求学生进行前面一题的练习并获得了及时的结果反馈，跟学生一起分析解题步骤以及何时运用分离参数法解题更为合适，然后再让学生解决后面一小题.学生在获得及时的反馈和针对性的分析之后，在后面一小题的解题上均有提升.

3.注重数学本质的揭示

学生掌握适度的技巧自然会在解题中有所突破，但过多技巧的堆砌往往会令学生掌握不到要领，从而使思维产生混乱，因此，教师应适当淡化技巧并注重数学本质的揭示，使学生能够把握问题的本质并获得数学学习的有效提升，学生在收获喜悦与成功的同时也会对数学发现的方法、数学思想方法、数学知识迁移形成更多的思考和领悟.

教师在分离参数法的教学中可以引导学生从以下层面进行理解：①分离参数的原因：因为参数m在区间上的变化引起了x的变化，因此可将x表示为m的函数：x＜f（m）或x＞f（m）或x=f（m）；②分离参数的结果：求出函数f（m）的最值或值域即可求得x的取值范围.需要教师注意的是，应引导学生对这一方法进行充分的认识，在参数无法分离时要能够联想到其他解法.不仅如此，很多时候也并不能在分离参数后一下子求得函数的值域或最值，往往还需要进行连续求导与罗必塔法则的配合.

学生在上述例题教学的有效实施中往往能够基本掌握分离参数法的运用要领，并对分离参数法的强大功能形成了解并获得深刻领悟，当然，教师也应关注到分离参数法的局限性并在实际教学中引导学生学会辩证地看待问题，使问题最终得到完美的解决.