知微见著看数列高考立意*——以“数列的综合应用”的教学为例

☉江苏省新海高级中学 闫 辉

☉连云港师范高等专科学校 朱海燕

数学教育家波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘题目的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”本节课从教材范例和习题出发，通过启发与引导，由浅入深、由易到难，让学生逐步深入地挖掘证明等差数列的必要条件，由此领会2017年江苏高考数列题目的立意，并在此基础上拓展到等比数列领域，从而达到融会贯通的目的.下面是本节课的教学实录，请同行和专家斧正.

一、探源，教材再出发

师：同学们已经学习了数列，首先让我们回顾一下等差数列的概念，如何用符号语言表达？

生一起回答：在数列{an}中，若an+1-an=d（n∈N*），d为常数，则称数列{an}为等差数列.

师：等差数列的通项公式是什么？

生1：设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d（n∈N*）.

师：请同学们回忆一下，有哪些判定等差数列的方法？

生2：1.定义法；2.（递推法）等差中项法，an-1+an+1=2an（n≥2，n∈N）；3.性质法；4.通项公式法；5.求和法等等.

师：这里要说明一下，虽然判定方法很多，但是其他方法最终都要回归到定义.今天我们重点来研究一下等差中项法.

（由于数列一轮复习刚刚结束，对于这些简单的问题，同学们回答得很轻松，课堂气氛波澜不惊）

师：由苏教版教材必修5第41页第15题的证明，我们不难得到，在等差数列{an}中，an-k+an+k=2an，an为an-k，an+k的等差中项，那么现在有这样一个命题.

（通过教材习题引入等差中项问题）

命题1：如果数列{an}满足条件：an-k+an+k=2an（n∈N*，k∈N*，n＞k），那么数列{an}是等差数列.

师：命题是否成立？

（同学们稍显意外，不过立刻做出了反应）

生3：不成立.

师：是一定不成立，还是不一定成立？同学们所指的等差中项法是什么？

（学生若有所思）

生4：不一定，等差中项法指的是k=1的情况，即an-1+

设计意图：在无疑处看出有疑，从特殊到一般，引导学生重新认识等差中项法，在讨论中重新打开思路.在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题并提出问题；能理解数学知识之间的联系，从而建构知识框架.

师：当k=2时，命题还成立吗？

命题2：如果数列{an}满足条件：n＞2），那么数列{an}是等差数列.

生5：不成立.

师：为什么？

生5：因为是间隔一项成等差数列，但整体不一定是，比如数列1，2，1，2，1，2，1，2，…

师：很好的论证，那么继续看，类似的，当k=3时，命题成立吗？

命题3：如果数列{an}满足条件n＞3），那么数列{an}是等差数列.

生6：不成立.

师：这个数列的特点是什么？

生6：这是间隔两项成等差数列，

师：反例不难找到，留给同学课后去完成.

（此时问题出现转折，抛出一个同学们意想不到的问题）

师：现在我们思考这样一个问题，当k=2且k=3等式同时成立时，命题是否成立？（用花括号直接作出推出符号）请同学讨论讨论.

（学生们感到新奇和兴奋，课堂讨论开始热烈起来）

二、拓展，知识再生成

等差中项的组合类型1

当k=2且k=3时等式an-k+an+k=2an同时成立的情况下，请问数列{an}是否是等差数列？

这个命题是否成立，大家交流一下，

（教师巡视，转的过程中，进行点拨、提醒）

师：哪位同学有想法？有同学举手示意，

生7：由题意可知：

n＞2， an-2+an+2=2an， ①

n＞3， an-3+an+3=2an. ②

可以换元，由①知：an-3=2an-1-an+1， ③

an+3=2an+1-an-1. ④

所以a3，a4，a5，…成等差数列，设公差为d.

①式中，令n=4，则a2+a6=2a4，即a2=a3-d，①式中，令n=3，则a1+a5=2a3，即a1=a3-2d，故数列{an}是等差数列.

设计意图：在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能够通过运算促进数学思维的发展，从而养成程序化思考问题的习惯；当两个式子同时成立时，就增加了运算空间，我们可以通过换元、消元，把不连续的项转化为相邻的连续的三项关系，再借助等差中项法来证明.

（正当学生沉浸在这个新发现的时候，老师又抛出了2017年的高考题，将课堂气氛推向一个高潮）

师：接下来，我们看一下这个方法在高考中的运用.

等差中项的组合类型2

江苏省2017年高考19题（PPT展示）

对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”.

（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列.

师：请同学们看一看、议一议、做一做.

（受到上面例题的启发，不少同学迅速打开思路）

邀请生8上来板演

数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，因此，

将③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，

所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.

在①中，取n=4，则a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′.

在①中，取n=3，则a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a2-d′.

所以数列{an}是等差数列.

师：做完这道高考题之后，同学们还有其他想法吗？仅在等差数列里讨论似乎意犹未尽.

学生们心领神会，开始了热烈的讨论，有同学举手示意，

生9：我猜想也许等比数列中也有类似的结论.

师：很好，我们来看下面例题.

三、迁移，立意巧类比

命题4：对于给定的正整数k，若正项数列{an}满足：an-kan-k+1…an-1an+1…an+k-1an+k=an2k对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”.

若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等比数列.

经过上面的学习，同学们的思路完全打开，大家七嘴八舌地说起来，师生共同解决

即an-1·an+1=an2（其中n≥4）.

所以a3，a4，a5，…是等比数列，设其公比为q.

a1，a2的验证，留给同学们课后完成.

（类比于等差数列的方法，非常顺利做出证明）

设计意图：类比推理是数学核心素养之一，在中学阶段代数的类比推理中，等差数列和等比数列具有很高的类比推理价值，通过设计案例，进一步启发学生的类比推理思维.

在高潮迭起的班级气氛里，师又出其不意的问：还有其他解法吗？

学生一脸茫然，突然陷入了沉思，气氛又变得冷静下来.

师稍作启发.

师：能否把这个等比数列问题转化为一个等差数列问题？大家讨论一下.

（部分学生若有所思，很快有位同学兴奋的做出了反应）

生10：可以取对数，正项等比数列取对数后，变成一个等差数列.

令bn=lnan，

则证明{an}是等比数列转化为证明{bn}是等差数列.

又把这个问题转化为2017年的这道高考题.

设计意图：化归与转化是高中阶段最重要的四种思想方法之一，化归与转化是将一个问题由难化易，由繁化简的过程.如何做一个有数学灵魂的高中生，本质上就是如何学会数学思想方法的运用.这个设计意图在于进一步启发学生的化归与转化思想.

四、课堂小结

本节课设计目的：在数学教学活动中，注重逻辑推理核心素养的培养，有利于学生理解一般结论的来龙去脉，并形成举一反三的能力，有利于学生形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力，有利于学生提高探究事物本源的能力.