构造法在初中数学解题中的巧妙应用

徐亚妮 夏学升

【摘要】数学思想方法在初中数学教学中具有十分重要的地位，构造思想方法是一种极具创造性的数学思想方法，尤其在解决繁难的数学问题时，如能根据具体问题恰当运用构造法，那么就会化难为易、化繁为简，使问题迎刃而解.本文将重点阐述构造法的理论简介及应用：如构造函数、构造方程、构造几何图形等.

【关键词】数学解题;构造法;数学问题;应用

数学思想方法是解决数学问题的灵魂.构造法作为一种传统的数学思想方法，在解题过程中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、猜想等数学能力，激发学生的创新意识，所以在初中数学教学中，应注重对学生运用构造法解题的日常训练，使学生体会数学知识间的内在联系和相互的转化归结，能创造性地构造数学模型，巧妙地解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，体验成功的快乐，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的数学核心素养.

一、构造法在解题中的应用

理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃.很多数学命题烦冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味.

（一）构造函数

在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段.构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性.在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标.

例1 （2017·西北师大附中兰外招生）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产Α，Β两种产品，共50件.已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元;生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元.

（1）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来;

（2）设生产A，B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

解 （1）设需要生产Α种产品x件，那么需要生产Β种产品（50-x）件，由题意得：

9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290，

解得：30≤x≤32，

∵x是正整数，∴x=30或31或32，

∴有三种生产方案：

① 生产Α种产品30件，生产Β种产品20件;

② 生产Α种产品31件，生产Β种产品19件;

③ 生产Α种产品32件，生产Β种产品18件;

（2）由题意得：y=700x+1200（50-x）=-500x+60000.

∵y随x的增大而减小，

∴当x=30时，y有最大值，最大值为：y=45000（元）.

答：y与x之间的函数关系式为：y=-500x+60000，（1）中的方案①获利最大，最大利润为45000元.

（二）构造方程

方程作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关.根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解.构造方程是初等代数的基本方法之一.如列方程解应用题，求动点的轨迹方程等即属此法.

构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤：

A.将所面临的问题转化为方程问题;B.解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论;C.将方程的相应结论再返回为原问题的结论.

1.某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“一元一次方程”求解，从而解决问题.

例2 （2014·西北师大附中兰外招生）设a>b>c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的范围.

解 由a+b+c=1，得a+b=1-c.①

将①的两边平方并将a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c.②

由①②可知，a，b是关于x的一元二次方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的两个不等的实根.

于是Δ=（c-1）2-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0，

解得-13b>c，

∴-13

∴1

（三）构造几何图形

1.对于条件和结论之间联系较隐蔽的问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决.增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍.

例4 （2011·西北师大附中兰外招生）已知：0

分析 在求证条件不等式时，可根据题设条件做出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证.

证明 如图所示，作边长为1的正方形ABCD，在AB上取点E，使AE=a;在AD上取点G，使AG=b，过点E作EF，使EF∥AD交CD于F;過点G作GH∥AB交BC于H.设EF与GH交于点O，连接AO，BO，CO，DO，AC，BD.

由题设及作图知△AOG，△BOE，△COF，△DOG均为直角三角形，因此，

OA=a2+b2，OB=（1-a）2+b2，

OC=（1-a）2+（1-b）2，OD=a2+（1-b）2，

且AC=BD=2.

由于OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，

所以a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22.

当且仅当a=b=12时，等号成立.

从以上各例不难看出，构造法解题有着你意想不到的功效，问题很快便可解决.构造法解题重在“构造”，通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件.因此，在解题时，若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想，就会得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解.运用构造法解题能培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力，也可从中欣赏数学之美，体会解题乐趣.