就题变题

林颜

【摘 要】探析利用导数判断函数的单调性的方法，对解决压轴题具有积极的作用，利用变式教学，激发学生的探索欲，由此促进学生发挥其主体意识，能够提升其分析、归纳、总结能力。本文通过就题变题，就地取材，探索高三一轮复习中变化教学的实践路程，为高考打下坚实的基础。

【关键词】就题变题；单调性；根的存在与分布

高考恢复全国卷以来，如何围绕全国卷组织应对策略，提升教学质量，一直是近几年探讨的热点。函数与导数大题作为压轴题，每年必考，题型难度较大，设问灵活，大多数考生做到此题，时间紧，在短时间内要想把该题做好，需要在平时形成更加系统的方法，提升更加灵活的思维，加强分析能力，方能够应对。观察2016年到2018年三年文科高考，函数与导数大题围绕零点问题和不等式问题考查，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查。但是如何有序的分类，又成为教师教学和学生学习的重点和难点。

变式训练作为教学中的一种常用手段，常常用于培养学生思维的流畅性和灵活性，在函数与导数大题的教学中，引进变式教学，对于概念的辨析，明确本质问题，提炼一般方法具有极大的促进作用。本文中，笔者总结近几年文科高考经验，通过一轮复习中一道例题的教学，就题变题，适当改变参数系数等，按层次递进，实践和探析导数教学中单调性的讨论方法，帮助学生突破难点。

1.例题引入，呈现问题

例题：已知函数f（x）=inx-ax（a∈R）。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a>0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值。

本文仅分析第一小问：

解：（1）f'（x）= -a= （x>0）

①当a≤0时，f'（x）= -a>0，即函数f（x）的单调区间为（0，+∞）；

②当a>0时，令f'（x）= =0可得x= ，当00；当x> 时，f'（x）= <0

故函數f（x）的单调增区间为（0， ]，单调减区间为[ ，+∞）。

（2）略

对于上面第一小问的解答，如何想到参数a分成a≤0和a>0讨论呢？讨论的原理在哪里呢？题型变化后又该怎么分类呢？对于上述疑问，笔者在教学中将该例题进行变式，通过改变参数等，从最基础的问题开始引入，由易到难逐步突破。

2.引入基础，明确本质

变1：已知函数f（x）=inx-x，求函数f（x）的单调区间。

分析：本题变化中令参数a=1，这样不涉及参数，明确讨论单调性的原理：求导f'（x）= （x>0），通过导数值的符号判断单调性，观察可知，导数的符号实际是由分子y=1-x决定的，根据零点存在定理，函数y=1-x零点左右符号不同，从而以零点作为分段点，将定义域分成若干个单调区间。

解：f'（x）= -1= （x>0），令f'（x）>0得01。

故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）。

通过变1，对比例题不难发现，例题中参数a分成a≤0和a>0的讨论，令f'（x）=0，最终由求导过程中方程1-ax=0根的存在与分布问题引发的，若a=0，方程无解，f'（x）>0，若a<0，方程的根x= 不在定义域内，若a>0，方程的根x= 在定义域内，从而可以让学生明白讨论的原理，明确更深层次的本次问题，进一步激发学生的探索欲。

3.领悟归纳，延伸概括

变2：已知函数f（x）=inx-ax （a∈R），求函数f（x）的单调区间。

分析：求导后f'（x）= （x>0）可以发现，导数值的符号由1-ax 决定，由此可以发现，本题的讨论可以从方程1-ax =0在（0，+∞）上的根的存在与分布展开。

解：f'（x）= >0

①当a≤0时，f'（x）= >0，即函数f（x）的单调区间为（0，+∞）；

②当a>0时，令f'（x）= =0可得x= 或x=- （舍），当00；当x> 时，f'（x）= <0

故函数f（x）的单调增区间为（0， ]，单调减区间为[ ，+∞）。

变3：已知函数f（x）=1nx-ax +（2-a）x（a∈R），求函数f（x）的单调区间。

分析：求导后f'（x）=- （x>0）可以发现，导数值的符号由2ax -（2-a）x-1=（2x+1）（ax-1）决定，由此可以发现，本题的讨论可以从方程（2x+1）（ax-1）=0在（0，+∞）上的根的存在与分布展开，即其中一根x=- 不在定义域内，另一根x= 是否存在，若存在，是否在定义域内，由此可以分成a≤0和a>0讨论。

解：（1）f'（x）=- =- （x>0），

①当a≤0时，f'（x）>0，即函数f（x）的单调区间为（0，+∞）；

②当a>0时，令f'（x）=0可得x= ，当00；当x> 时，f'（x）<0，故函数f（x）的单调增区间为（0， ]，单调减区间为[ ，+∞）。

从上面两个变式中，仅适当改变了部分参数和形式，设计意图是以变1为基础，明确讨论的原理，提出问题，总结方法：单调性的讨论，可以归结为导数中影响符号的式子对应的方程的根的分布问题，从而转化为更基础的问题，即根的存在与分布问题。我们可以把该方法归结为：①方程f'（x）=0是否有根；②若f'（x）=0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较两根的大小。

4.提炼方法，对接高考

通过3次变式，总结本节课内容，联系近几年全国1卷文科导数压轴题，引导学生观察思考，不难发现，上述总结的方法可以帮助我们轻松解决压轴题的讨论问题：

（2016年文科全国Ⅰ卷22第一问）已知函数f（x）=（x-2）e +a（x-1） .讨论f（x）的单调性。求导得f'（x）=（x-1）（e +2a）（x∈R），由此可知导数符号由类似一元二次型结构（x-1）（e +2a）决定，令f'（x）=0，当a≥0时，方程e +2a=0无解，当a<0时，方程e +2a=0有一根x=1n（-2a），此时又需与另一根x=1比较大小，故最后可以分a≥0，-

（2017年文科全国卷Ⅰ22第一问）已知函数f（x）=e （e -a）-a x讨论f（x）的单调性.求导得f'（x）=（2e +a）（e -a），进而转化为一元二次型问题，令f'（x）=0，考虑e >0，2e +a=0与e -a=0解的情况恰好相反，故可以分a>0、a<0、a=0讨论。

上述两题中具体解答可参考这两年全国卷解答，这里不再赘述。

5.反思教学，提升素养

在一轮复习中，换位思考，从学生的角度出发，通过一类问题的质疑，反复琢磨知识的形成，在课堂引导学生思考，可以提高学生解决问题的兴趣，体现数学思维对解题的引领，做到举一反三，不断创新，共同进步。

数学的魅力在于变化与突破，教师对数学的教学不应局限于课本，而是通过日常不断的积累与思考，从学生的个人发展规律与知识水平入手，不断调整和改变教学方式，就地取材，就题变题，随时创造有利于教学的环境，使得教学源于课本又高于课本。对变式教学的辩证思考，有利于学生分析能力的形成，有利于促进核心素养的培养，在教学中值得学习和推广。

【参考文献】

[1]范志敏.利用导数解决函数的单调性问题[J].中学教学参考，2012（35）：28

[2]罗增儒.高考数学压轴题的认识研究[J].中学数学教学参考（上旬），2018（4）：36-37

[3]潘龙生.“变式”教学要变出“思想性”[J].中学数学教学参考，2018（25）：40-41