基于学科核心素养的2018年高考数学试题分析

常毓喜

(北京市第四中学 100034)

2020年我国将全面建立起新的高考制度. 这次高考制度改革是1977年恢复高考以来规模最大、涉及面最广、难度最艰巨的一次改革.这次高考改革是在我国出台新的课程标准，全面提出培养学生核心素养的背景下进行的，所以研究基于核心素养的高考试题有什么特点，就显得尤为重要.

核心素养是育人价值的集中体现，是通过学习而逐步形成的正确价值观念，是能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，具体表现在社会参与、自主发展、文化基础三个方面.

数学学科的核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度和价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.具体表现为，会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界.

1数学的眼光

数学的眼光是什么呢？就是数学抽象与直观想象.

1.1数学抽象

数学抽象就是通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.数学的研究源于对现实世界的抽象，通过抽象可以得到数学的研究对象.

2018年的高考试题就比较重视对数学抽象的考查.

例1(2017年全国1卷理文3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例

建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少.

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上.

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍.

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.

分析首先要从题设的文字语言中抽象出有用的信息，主要是“经过一年的新农村建设，经济收入增加了一倍，变成原来的两倍”.其次还要从所求出的饼图中获得有用的信息，并且进行加工、推理、运算，然后得出正确结论.

表面上看，种植收入由60%变为37%，貌似减少了，如果没有仔细阅读题目，特别是题干文字语言中的信息，就很容易错误的判断A是正确的. 其实由于总量增加了一倍，所以种植收入实际上是增加了，所以A是错的.

1.2直观想象

与数学抽象关系密切的是直观想象，直观想象是指借助几何图形和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、实现数学抽象的思维基础.

2018年高考命题，也有意地考查学生的直观想象.

例2(2018年全国3卷理文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A

B

C

D

分析此题主要考查学生的直观想象. 只要准确理解题意，并且能够正确想象出木构件的形状，就很容易得到正确的结论.

2数学的思维

数学的思维是什么呢？就是逻辑推理与数学运算.

2.1逻辑推理

逻辑推理是指从一些事物和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括合情推理与演绎推理.

数学的发展主要依赖于逻辑推理，通过逻辑推理得到数学的结论，即数学命题.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，体现了数学的严谨性.逻辑推理的核心是理性思维，既要体现推理的严谨性，还要体现推理的灵活性.

例3(2018年全国2卷理11文12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

A．-50 B．0 C．2 D．50

分析推理就是从题设或已有的结论出发，得出一系列有用结果的过程. 逻辑推理的关键首先就是能利用已知条件可以得出什么有用的结论.

由f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数可以得到什么结论？f(-x)=f(x)，f(0)=0，图像关于原点对称等.

由f(1-x)=f(1+x)可以得到什么结论？f(x)的图像关于直线x=1对称.

于是进一步可得函数f(x)是周期为4的周期函数.

所以由f(0)=0得f(2)=f(4)=0；由f(1)=2得f(-1)=f(3)=-2.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)

=f(1)+f(2)=2.

此题对逻辑推理的考查很充分.

例4(2018年全国1卷理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

分析本题主要考查学生的逻辑推理的素养，同时也考查学生的直观想象.

与每条棱所成角都相等的平面在什么位置？是什么形状？这是首先要解决的问题.

因为正方体的12条棱中，每一条都有3条棱与其平行，所以只需考虑与从同一个顶点出发的3条棱所成角相等即可.显然平面A1BD就满足条件(如图)，于是与平面A1BD平行的平面都满足条件.

这道题立意新颖，背景公平，很好的考查了逻辑推理与直观想象的学科素养，在当前高考改革的过度阶段，这样命制试题，对目前进行的新课程下的教学无疑有着良好的导向作用.

2.2数学运算

数学运算是指在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.

数学运算是解决数学问题的基本手段，包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、得到运算结果等.

数学学科素养中的数学运算不仅仅指数字运算，也包括字母与式子的运算.

分析解析几何的本质是用代数方法解决几何问题，即利用坐标与方程解决问题. 在本题中，A，B两点的坐标怎么解决就成为解决问题的关键.

由于A，B两点的坐标不方便求出，所以可以采用设出A，B两点的坐标，然后由于它们都在椭圆C上，其坐标满足椭圆方程，即所谓的点差法进行运算.

方法一(1)设A(x1,y1)，B(x1,y1),

(2)由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则

(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)．

由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,

y3=-(y1+y2)=-2m<0．

设该数列的公差为d，则

如果考虑到A，B两点是直线l与椭圆C的交点，也使用可以采用设而不求，利用韦达定理的方法进行运算.

方法二(1)设直线AB的方程为y-m=k(x-1)，代入椭圆方程并整理得(4k2+3)x2+8k(m-k)x+4(m-k)2-12=0.

(2)设P点坐标为(x0,y0)，则由题设x0-1=x1-1+x2-1=0，所以x0=1，y0=y1+y2=2m.

所以|FA|+|FB|=4-1=3=2|FP|，

在教学中要让学生学会选择正确的运算方法，使用合适的运算法则，才能提高学生的运算能力，做到举一反三，融会贯通.

3 数学的语言是什么？就是数学建模与数据分析.

3.1数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，并用数学语言表达问题、构建模型且用数学方法解决问题的素养.

数学模型使得数学回归于现实世界，构建了数学与现实世界的桥梁. 是数学应用的重要形式. 数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的重要动力.

近几年的高考试题同样比较重视对数学建模考查.

例6(2018年全国2卷理文18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

分析不难得到利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为226.1(亿元)，

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为256.5(亿元)．

哪个预测值更可靠呢？

视角一：从过程看：

视角二：从结果看：

从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．

此题很好的考查了学生数学建模的素养，要求学生不仅能够根据两个不同的模型分别计算出结果，而且能够利用题目所提供的信息，得出哪个预测值更加可靠的结论.可以说，对数学建模的考查比较彻底、充分.

3.2数据分析

而在当今一个大数据时代，数据分析变得越来越重要，逐步形成了一种新的语言，所以也把数据分析作为核心素养的一个重要要素提出.

数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学知识与方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.

例7(2018年全国3卷理文18)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式

(3)根据(2)中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

分析第(1)就充分的考查了数据分析的学科素养.题设中利用茎叶图给出了两组工人完成任务的时间数据，如何获取信息？怎么推断？可以得到什么结论？

视角一：从分布的角度看：

由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

也可以由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．

视角二：从中位数的角度看：

由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

视角三：从平均数的角度看：

由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

所以在教学中应该突出分析各类各种数学模型及特征数的特点，抓住其本质属性，这样才有可能在解决问题时准确地辨析它们，利用合适的数学模型准确地解决问题.

显然，核心素养是在“双基”、“三维目标”、“四基”的基础上发展起来的，是培养学生的终极目标.

高中数学教学活动要树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，创设有利于学生数学核心素养发展的情景，引导学生把握数学知识的本质.

在教学中如果能够充分揭示数学的学科本质，那么对学生培养学生的学科素养，无疑有很大的作用.

虽然到2020年才进行新的高考，但是很显然在这几年的过渡期，高考命题已经逐步体现出新课程的特点，加强了对学科素养的考查.所以我们在教学中要及时予以关注，重视对学生学科素养的培养，努力培养学生具有能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.