高中数学可视化情境的设计原则及实施路径*

张志勇

(江苏省常州市第五中学 213001)

随着新课程改革的深入，数学教学已不再是单纯地传授知识，而是要由知能视角转向核心素养培育，引导学生用数学的眼光、视角发现问题，用数学的语言、模型描述问题，用数学的思想、方法解决问题．而如何帮助学生学会“用数学的眼睛看，用数学的思维想，用数学的语言说”，则离不开数学情境的默化和增润，正如《普通高中数学课程标准(2017年版)》所强调的那样，“数学核心素养是在学生与情境、问题的有效互动中得到提升的．……在教学中，应结合教学任务及其蕴含的数学核心素养设计合适的情境和问题，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质．”在可视化技术支持下创设互动情境，恰可以在抽象的数学与生动的现实间构建联系通道，突破数学因高度抽象概括特性而带来的“难以意会、无法言传”之障碍，为改善数学的教与学提供极大可能．

1 可视化情境的概念辨析

情境一词，在《现在汉语词典》中解释为“情景，境地”，在辞海中的解释则是“指一个人在进行某种活动时所处的社会环境，是人们社会行为产生的具体条件”．学习是基于境脉的，脱离情境脉络获得的知识，往往只是“惰性知识”，既难以真正习得也难以迁移运用；譬如盐是人体每天必须摄入的，若是将15克盐放在你的面前，无论如何你难以下咽，但将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你就在享用佳肴时，将15克盐全部吸收了．情境之于知识，犹如汤之于盐，知识需融于情境之中，才能显示出活力和美感[1]．

情境在数学学习过程中有着极其重要的作用，因为数学概念的理解、数学命题的掌握、数学技巧的形成、数学思想的应用、数学问题的解决都要基于数学情境的创设、运行、反思来完成．学习数学的情境，是从事数学学习活动的环境、产生数学行为的条件，理想的数学情境应该包括“境”与“情”两个不可分割的部分，讲究“以境启知，由知怡情”[2]；“境”多指向认知领域，设“境”为了启“知”，从学生的生活实际和学习背景出发构建一条件场域，为新的数学行为的产生开辟路径、启发思考；“情”则更多的聚焦非认知领域，通“知”方能怡“情”，只有学生积极主动地参与，课堂氛围才能活跃、教学效果才能凸显，情境教学需要将学生学习的兴趣、情绪、情感体验、美感等方面摆放在应有位置．

数学情境不仅是数学知识产生的背景，也内嵌有数学思想方法的表达；它不仅能激发数学问题的提出，也能为数学问题的解决提供信息和依据[3]；从而“知”既是连接“境”与“情”的关键环节,也是情境设置的终极目标．从数学目标的呈现角度出发，数学情境往往包括文词语言表述的情境(语义丰富)、符号语言表述的情境(抽象简洁)、图形语言表述的情境(形象直观)等三类[4]．特别地，我们又要注意到，数学内容、方法与呈现形式的高度抽象性，使得数学难以被感官直接感知，更难被理解和内化，往往“学的人不知数学如何去意会，教的人不知数学如何去言传”，这就需要用“图示”的方式解决“意会”与“言传”间的障碍[5]，也就是我们需要的是“看的见的境”，即数学可视化情境，从而挖掘可视化技术于数学的表征优势，建立“可见形式”与“抽象形式”之间的直接联系，使数学的关联性变得可见并且可操作．

综上，数学可视化情境是为从事数学活动、产生数学行为而构建的境脉场域，它以学生的生活实际和学习背景为基础，强调学习活动体验的直接获取；以知识学习为纽带，强调支架性地帮助学生认识数学本质；以情感调节为手段，强调学生的积极主动参与；以形象直观为手段，强调应用丰富多样的视觉表征手段呈现数学对象的本质属性；以素养提升为旨归，强调以可视引导思维、以互动交流思维．

2 可视化情境的价值探寻

反思当下情境创设与运行中的一些误区：忽视情境创设目的，缺乏数学味，为情境而情境；过于形式化而游离于数学学习的本质；过于生活化而显现去数学化情境；情境创设与运行的任务不明、角色不清；数学情境、数学知识、师生成长的关系定位不准确等[6]．我们需要准确定位数学情境在数学教学中的地位与价值，真正使数学情境成为数学活动的基因，使数学情境的意义和学生的情感诉求相融合，使数学情境与核心素养培育相匹配．

2.1 引发学习兴趣，完善情感体验

创设数学情境，可以呈现给学生刺激性的数学信息以引起学习兴趣，或引发认知冲突以激起学生的好奇心；于是学生喜闻乐见的生活或学习趣事，如名人名言、数学口诀、数学小故事等，便成了数学情境创设中的常见风景．然而情境设置的作用，不应仅是博得学生课前一乐，更应将学生置于“愤悱”之地，譬如数列学习中，简单的讲述“麦粒”的故事和高斯的“妙”想(计算1到100的方法)，充其量只能“导课”却难“入课”；不应仅起到“敲门砖”的作用，还应当在课程的展开中自始至终发挥重要的导向作用，如同相声中的“包袱”一样．理想的高中数学情境，需要以“情”为经，给予教学场域以真实的生命触动及完整的情感体验，既有“初入佳境”时的惊讶好奇，又有“山重水复”时的欲罢不能；既有“柳暗花明”时的豁然开朗，更有“蓦然回首”时的猛然醒悟．这样，我们对情境价值和意义的讨论，就不应仅仅停留于如何创设问题情境来解决诸如兴趣、动机等方面的问题[7]，更重要的则是给学生提供思考与探索的空间．

2.2 催生问题意识，形成良性互动

情境设置的另一重要价值在于可以催生学生的问题意识，问题是数学和数学教学的关键所在，情境中蕴含着有价值的问题，而问题又驱动着情境的展开，决定着情境任务的复杂程度．这样情境创设时，一方面应与学生的数学认知发展水平相适应，接近学生的“最近发展区”，要有利于学生学习内容的意义构建，可以利用原有的知识和经验同化当前要学习的新知识，也就是要“够得着”；同时还要“跳一跳”，应促使学生原有知识与必须掌握的新知识之间发生认知冲突，由此导致学生意识中的矛盾激化，从而产生问题意识，促进探究学习；更重要的恰在于“引一引”，教师在情境创设之初便需设计问题串，在引领学生前行的过程中揣着明白装糊涂，通过不断的追问让学生发现和提出数学问题、分析和探讨数学问题、运用所学解决数学问题，在理解概念、形成定理、进行应用中实现师生的良性互动．所以情境是问题的起点和载体，解决问题是情境的任务和直接目标，当学生感到要问“是什么”、“为什么”、“怎么办”时，其主动性思维才真正激发和启动，离开了数学情境的创设，数学问题的产生就失去了肥沃的土壤．

2.3 还原数学过程，认清来龙去脉

数学情境搭建了一个数学学习场，将数学中的重要概念、思想方法融入其中：不是将现成结论直接抛给学生，而是从直观、想象到猜想、发现，让学生亲历数学知识的建构过程；不是简单的应用数学解决问题，而是重视学生基本活动经验的积累，在根据数学思想发展脉络创设的问题情境中丰富感知、建立表象、发展想象．因为此，情境并不只是数学学习的开始，而是贯穿于学习的始终：“境”的作用始于“启知”、终于“用知”，应用所建构的数学知识解决原有的问题情境、同时引发出新的数学情境，新“知”之所以生长恰在于情境所创设的“源头活水”．辨析知识生长过程中的来龙去脉，可以分离出三个重要环节：情境化(将知识的生发寓于具体情境中)、去情境化(从具体情境中抽象出数学问题、提炼出数学模型)、再情境化(应用一般知识解决具体问题)[8]，数学知识的意义建构正是在“情境化”和“去情境化”的不断往复中自觉完成．创设情境仅是开始环节，其作用在于激发学习动机、沟通生活实际与数学内容间的联系、搭建具体形象与概括抽象的桥梁，为后续的“去情境化”等教学环节做好准备；“知”的形成必然包括一个“去情境化”的过程，如果只是为数学问题“穿衣戴帽”地罩上一个未必恰当的“情境外套”，既难以激起学生真实的情感，也无益于学生对数学知识的真正获取．

2.4 提升核心素养，启迪数学思维

如果说“情境化”搭建了具体与抽象的桥梁、提供了探索与思考的空间，那么“去情境化”和“再情境化”恰可以帮助学生自主探究、参与交流、解决问题，是数学建模、数学抽象、数据处理等核心素养培育的重要载体．如“去情境化”环节中，可以用归纳或类比的方法发现情境中的数量图形关系，在丰富的特例基础上抽象出数学概念和规则；又如在“再情境化”环节中，涉及到如何选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题，以何种数学语言表述问题解决的过程和结果．由此可见，学生严谨、抽象、概括等一般化知识和思维方法的获得，正是在具体情境的“超越”(去情境化)和“再现”(再情境化)的过程中得以实现、在情境、问题的有效互动中得到提升；反之也告诉我们，情境创设过程中，要以“境”为纬，建构生态场景及智慧平台，在情与境中探寻最适合学生思维发散、综合素养提升的理智与情感并存的意境；要结合特定教学任务，思考相应素养在教学中的孕育点、生长点，研究素养融入教学内容和教学过程的具体方式及载体，忽视“知”只会导致情境缺乏数学味而扭曲情境创设的本真．

3 可视化情境的设计原则

挖掘数学情境的价值功能，正是为创设情境探析路径与方法．设计切合学生学情和教学实际的情境，既让学生感兴趣又具有一定挑战性，既与所学内容有着本质联系又具备数学活动基因，既启发学生思考又蕴含数学核心素养诉求，于教师而言，无疑是具有挑战性的任务，也是教师实践创新的载体．

3.1 直观形象原则

高中学段的特点决定了数学情境将更多地来源于数学自身，无论是现实生活的数据、数学发展中的史实或是学习过程中的疑难问题和典型错误，都离不开呈现方式和媒介手段的选择问题，而文词语言再丰富、符号语言再简洁或许都不及图形语言的形象直观．况且情境创设的要义在于“以境启知”，在认知冲突中激发学生的学习动机，在分析和探究数学问题中建构数学知识，因此好的情境应该简洁而不冗长、具体而不晦涩．于是直观形象原则要求，将抽象的数学学习对象(概念原理、结构关系、思想方法等)用可看见的表征形式(图形、图象、动画等)清楚直白的呈现出来，一方面自然离不开可视化技术(数学学科软件等)的教学应用，更重要的则是立足于教学任务对教学内容作有序化梳理，创设利于去情境化的、蕴含数学核心知识概念的、有助于学生习得知识技能与感悟思想方法的、符合学生认知经验的富有趣味性的可视化情境．

3.2 先行支架原则

情境是产生数学行为的条件，情境创设应接近学生的“最近发展区”，为后续的“去情境化”提供学习支架和先行组织者材料．先行支架原则要求“跳一跳够得着”，围绕既定的数学知识点创设先于学习任务本身呈现的引导性材料，无论是游戏或竞赛活动还是故事与操作情境，都应服务于一定的教学目标，有利于知识和思想方法的掌握，有助于问题提出和数学理解．避免“导课”而不“入课”或者为引出数学问题刻意地虚构一个情境的现象发生，需要在分析学生学习特征(包括知识经验、学习水平、思维特点等)和数学知识核心本质的基础上，找寻最初的现实原型，为情境教学的实施提供“物质”保证．

3.3 知情达理原则

知情达理的原意是“通人情、懂道理”，用在这儿指向“情”与“知”．知情要求教师在情境创设要将着力点从教师的“教”转向学生的“学”，能洞察学生的内需(兴趣爱好、情感体验等)，弄清学生在学习过程中的起承转合，知道学生所想所惑，何处山重水复、何处柳暗花明，然后再将所要学习的知识内容隐寓于具体情境之中，以吸引学生的积极主动参与．因为学生最佳的学习状态不是“要我学”而是“我要学”，当学习变成自觉的行为时，学习才能达到理想的状态．达理要求情境能启发学生思考、引导其把握数学内容本质，因此情境创设时要紧紧围绕既定的数学知识点展开，围绕数学核心知识本质创设符合学生认知经验的富有情趣的情境，并为后继的“去情境化”打下伏笔、留有余地，既强调现实生活(情境化)也关注数学的内部逻辑(数学化)，在理解的关键处、认知的冲突处多加着力，以帮助学生实现具体到抽象的过渡、图象到符号的转译．

3.4 融通延展原则

好的数学情境不仅能“入课”(帮助学生进入课堂学习状态)，而且能作为主线贯串课堂学习始终(有助于学生了解知识的来龙去脉，经历数学发现和创造的全过程)．延展原则强调的正是情境在知识发展过程中的穿插衔接之效，在“启知”之境中，从具体到抽象，蓄势待发、朝气蓬勃；在“用知”之境中，从抽象回到具体，居高临下、登高望远．而正是在情境于知识学习的起承转合中，融通各种教学要素使数学核心素养落地．面对可视化情境，提炼数学问题、剖析内在本质需要独具慧眼，数学抽象和直观想象蕴育其中；去情境过程中，离不开条分缕析抽丝剥茧，发展逻辑推理和数学运算正可以“用数学的思维想”；再情境化时，从抽象系统回到问题解决，回归分析、数据处理中恰可以“用数学的语言说”．

4 可视化情境的创设路径

就情境的创生方法而言，或采用注入改造式，即对原始的、复制的生活情境，注入数学因子改造或改善为有效的数学情境；或采用映射融入式，即将其他学科的情境、数学自身的情境、以及学生的数学经验情境等映射融入进数学体系之中[9]．注入改造式是先有生活现实原型，然后加以数学化改造为我所用；而映射融入式是先有数学内容，然后选择合适的素材量身定制．无论采用哪种方法，均需要教师对数学知识有深刻的理解，有敏锐的洞察力和创造力，能透视作为结果性知识背后的情境成分，对其进行教学法层面的再加工，形成可视化情境．

4.1 例举归纳法

事实上，多数可视化技术内嵌有符号代数系统(CAS)，可以很好的实现规定、定理学习的流程倒置，变“法则记忆+法则应用”为“具体事例→归纳法则→识记应用”，如GeoGebra中可设置和差积商的导数法则的教学情境(如图1)，因为有具体事例的支持和发现过程的展示，规则(f(x)·g(x))′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)更易于“深入人心”，可见技术助力于可视化情境的创设．

图1 积商的导数法则

4.2 操作实验法

实验无疑是丰富学生体验的重要手段和路径，而将实验交到学生手中，可以实现“做”中理解数学、发现数学，在算一算、画一画、量一量中获得活动体验；它强调的是不将现成结论直接抛给学生，而是根据数学思想发展脉络创造问题情境；强调的是亲历数学知识的建构过程，而不是简单的应用数学解决问题．

如，在GeoGebra环境中学习对数函数，学生可以随意地取a的值(而不一定是特殊值)画出相应的函数图象(不论多少也不论多复杂)，可以清楚地观察到底数a是如何影响并决定着函数y=logax的性质，实现在函数解析式与图像间的相互转换，构建参数a与函数y=logax图象、解析式之间的联系通道．在可视化技术的支持下，操作实验法也已成为情境创设的通行做法，诸如函数与其导函数(极值点与零点)、离心率与椭圆形状、正方体中的截面形状等数学内容均可以采用映射融入式构造实验情境，如图2中，改变其中的基本函数f(x),g(x)的解析式，可以观察到复合函数f(g(x))或g(f(x))的图像变化，而进一步的研究则将复合函数的性质聚焦到基本函数的联系比较中．事实上，操作实验的价值正是在“做”数学的过程中丰富感知，在直观感知的基础上建立表象，在表象提取与运用中发展想象．

图2 复合函数的操作实验

4.3 问题探究法

问题和情境是密不可分的，如果说情境只是静态场域的话，那么问题则让情境变得灵动而鲜活，它直接驱动着情境的展开，于是以问题为纽带设置探究情境自然也是一重要途径．当然，将抽象的数学原理寓于具体的问题之中，在任务驱动过程中理解数学概念、获取数学方法、优化思维层次、提升数学观念则是问题探究法的直接目标．

图3 向量投影的问题探究

4.4 应用拓展法

数学情境的作用不应仅限于帮学生“入课”(进入学习状态)，而且能助学生“出课”(学以致用，从应用的角度认识所学知识的价值)，也就是说情境可以贯穿学习始终，既承前揭示知识来龙，又启后明了知识去脉．应用拓展类情境的价值不仅在于说明“数学有用”，而且可以寻求“问题空间”的数学解释，架设新旧内容间的联系通道，构建更加完善的知识网络体系，以此发展学生的数学应用意识，回归素养为重的常识．

图4 构造周期函数