浅析高考数学命题对核心素养培养的导向

张礼勇

(重庆市涪陵高级中学 408100)

1 问题的提出

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要.”所谓数学核心素养，指的是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力，具体包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面.数学核心素养不能离开数学的学习、应用、创新，它们综合体现在“用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的过程中，集中体现在“发现与提出问题、分析与解决问题”的过程中.随着教育改革的深入，聚焦核心素养是教育发展改革的必然.

在对高中数学核心素养培养过程中，如果说课程标准是武器装备的话，那么课堂教学就是训练场，而高考就是主战场.因此，无论是作为基础的课程标准，还是关键的课堂教学，都离不开高考的目标导向.在对高考命题的讨论中，主流声音似乎一直没有变过，比如从基于“能力” 到基于“素养”考试评价，逐步树立“以素养立意命题”的指导思想，注重考查学生的核心素养，强调“数学建模与数学探究”.具体如：不增加题量延长考试时间；增加应用问题、探究题；逐步增加开放题；减少选择、填空题等.高考命题的权威导向，这是一个无法回避，必须面对的现实问题.下面我们将从历年的部分高考真题中，去探讨其对数学核心素养的测查功能，希望能“窥一斑而知全豹”；同时也让老师们在日常的教学中更具有针对性和目的性.

2 高考命题对六大核心素养的考查

2.1 数学运算——准确而迅速

真题再现

2015年全国Ⅰ卷理科第9题：执行下面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n的值为( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

思维障碍

对于学生而言，本题常见的问题是将运算规则中的字母搞混淆，张冠李戴，或者是循环运算中耐心不够，计算屡屡出错.须知一步出错，步步则错.

障碍分析

对于运算问题，教师在实际教学中往往不够重视，认为只需教师提示一下，指明方向，其余就万事大吉；或者对学生在运算中出的错，往往是归结于粗心，下次注意认真点就行了.可是我们发现，为什么每一次测试下来，许多学生都会发出这样得感叹：“如果不粗心，我本可以考多少多少分！”言外之意，不是我做不到，而是粗心罢了！这种观念是相当危险的.经常爱出错，所谓的粗心，就其本质，实是一种能力不足——那就是运算能力薄弱，运算素养缺乏.运算素养的培养需要沃土，需要教师在平常的课堂教学中逐步引导学生种下扎实的种子，并不能一蹴而就、立竿见影.一个在课堂教学中不重视培养学生数学素养的教师，培养出来的学生在本题就会造成若干思维障碍，对于教师而言是有责任的！

导向要求

本题考查的是程序框图的问题，其实对学生具有一定程度的运算素养提出了新的要求.学生不仅要明晰运算对象，还要能依据运算法则解决数学问题.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.

教学反思

教师在课堂教学中一定不要“站着说话不腰疼”，经常说“这么简单，都做不了？”“这么容易，都算错了？”“算错是你们自己的责任，我只负责方法！”如此等等，将责任一股脑推给学生，自己还理直气壮、振振有词！事实上，有很多我们老师想当然的东西，在学生那里就不一定清楚.我们认为学生该听懂的，结果学生混混沌沌；我们认为学生能够明白的，结果学生一知半解；我们认为学生不该算错的，结果学生出错了；我们认为考试题目够简单的，结果学生考试的分数完全出乎意料.课堂教学紧贴学生最近发展区，符合实际，着力培养学生的数学素养，这恐怕才是一个老师应该去努力的方向！

试题略解

……

2.2 逻辑推理——严谨而有序

真题再现

2016年全国Ⅱ卷理科第15题：有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .

2017年全国Ⅱ卷理科第7题：.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

思维障碍

对于逻辑推理而言，学生感到最大的困惑就是分类讨论情况太多，找不到突破口，以致结论模糊不清、模棱两可，最后的结果也就只有估计和猜测，错误率也就很大了.

障碍分析

对于2016年这一道题，突破口就在丙说的那句话：“我的卡片上的数字之和不是5”，再结合甲与乙所说的话，就可分别得出结论.对于2017年的那一道题，突破口在于老师说的话和甲最后对大家说的话，考生要真正理解这一句话的内涵，读懂其背后隐藏的意义，揭露其本质.表面是没有找到突破口，其实质是缺乏严谨的逻辑推理和思维能力.

导向要求

合情推理和演绎推理是新高考的一个重要的考点和要求.它对于考生的阅读能力、推理能力、提取信息能力有着较高的要求.考生要善于通过列表、画示意图等数形结合方式，运用分类讨论思想、排除法的思想、反证法的思想等得出结论，完成推理.

教学反思

在推理教学中，要避免过度形式化和概念化.有的学生对推理的定义、种类、形式等记忆得很好，但在实际运用中往往一塌糊涂，根本不能灵活运用，这就是教师教学刻板、学生学得死板的结果，师生只有在教学中不断地探索和表述论证的过程，有逻辑地表达与交流，才会逐渐地提高学生的逻辑推理素养，才会得到正确的思路与方向.

试题略解

2016年全国Ⅱ卷理科第15题：由题意分析可知，乙、丙相同的数字不是1，因此只能为1、2与2、3，或1、3与2、3，又因为丙的卡片上的数字之和不是5，因此丙不可能是2、3，只能是1、2或1、3，结合甲与乙的相同数字不是2，最终可以得出甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2.

2017年全国Ⅱ卷理科第7题：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙得结果则知道自己的结果与丙的结果相反，丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.

2.3 直观想象——感知而清晰

真题再现

2014年全国Ⅰ卷理科第12题：如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )

思维障碍

此题根据三视图，很容易判断出原几何体是一个三棱锥，但是，这个三棱锥究竟是如何摆放的，这就很难想象了！如果满足了其中两个图，发现第三个图满足不了，这就是此题最大的思维障碍.当然，有些学生想到了借助正方体来研究，但是也不是那么容易就能看出来的，很可能多次铩羽而归.不知道三棱锥在空间中的摆放形状，当然就无法进行下一步的棱长计算了！

障碍分析

很显然，制约本题不能顺利完成的主要因素就是学生的空间想象能力的缺乏.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，而本题对学生空间想象能力的考查到了一个新的高度，这是教师在课堂教学中不得不引以重视的.

导向要求

直观想象能力是重要的数学能力之一，也是高考的一个重要的考点，而三视图只是其中的一种考法.通过学习，学生能借助空间想象认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

教学反思

三视图问题，看似简单，可是涉及的知识量很丰富，特别是考查学生的空间想象能力、分析和解决问题的能力、计算能力等.在教学中，教师应该尽量使用实际模型，让学生亲历感受；或者尽量使用三维动画，让学生有直观的理解，发展其发散的空间想象能力，切忌抽象的、枯燥的理论讲解，让学生云里雾里、不知其然.

试题略解

2.4 数学建模——有型而正确

真题再现

2015年全国Ⅰ卷理科第19题：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

x y w∑ni=1(xi- x)2∑ni=1(wi- w)2∑ni=1(xi- x)(yi- y)∑ni=1(wi- w)(yi- y)46.65636.8289.81.61469108.8

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

思维障碍

障碍分析

导向要求

本题主要考查了非线性拟合问题、线性回归方程求法、利用回归方程进行预报预测等，考查了对现实问题进行数学抽象、用数学知识与方法构建模型解决问题的能力，处理数据的能力.

教学反思

通过本试题的分析，我们不得不将焦点又聚集在一个老生常谈的问题：课堂教学，老师是将重点放在知识技能上，还是能力培养上？当然，对这个问题的回答，大家肯定是异口同声，一定是能力培养！事实上，在实际教学中，由于教师队伍的良莠不齐，师资现状会将能力培养变成一个不可着摸的、口号式的东西，真正的能力培养、数学素养教育何其之少、何其之难！

但是，高考命题越来越朝着能力立意的方向前进，以本题为例，如果教师在平时的教学中不善于创新教学、智慧教学，培养学生的能力、素养和创新精神，而只是一味知识性教学，机械照搬、刻意模仿，让学生“只知其然，不知其所以然”，那他们在面对类似这种问题时候，就会吃大亏，会束手无策！

试题略解

(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果可知，年利润的预报值

故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.

2.5 数据分析——有法而娴熟

真题再现

2017年全国Ⅰ卷理科第19题：为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(Ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(Ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96

10.01 9.92 9.98 10.04

10.26 9.91 10.13 10.02

9.22 10.04 10.05 9.95

≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．

思维障碍

许多同学一见到此题，就被吓住了：文字信息多，数据多而且带两位小数，公式也很复杂，继续读下去的信心也就不那么足了！当老师布置给学生练习此题的时候，发现学生主要是存在以下问题：

一是完全没有读懂题目，对若干条件、数据不明就里，完全无从下手；

二是尽管读懂了题目条件的要求，但是根本不知道用对立事件来解决求P(X≥1)的问题；

三是不知道、不熟悉二项分布的特点、性质，在此处也不会迁移应用；

四是计算屡屡出错，而且花的时间较长.

障碍分析

单从此题的数学难度而言，也并不是想象中那么遥不可及的，但是为什么学生总是害怕这类题呢？就其原因，无非是以下几点：

一是老师的观念没有发生转变，始终认为所谓正态分布、样本估计总体是一些新增知识，没有如传统的代数、几何那么重要，导致无论是在已有经验上，还是在知识储备及课堂准备上，并不是那么充分.老师的态度往往决定学生的态度，不够重视，不够熟悉，不够熟练，做起此类题目自然就相形见绌，有一些难受了.

二是在教学中，数学教师往往易忽略对学生阅读能力、提取信息能力的培养，他们常常不经意地将数学题目的华美外衣脱掉，去掉题目所处的实际环境状态，以纯粹形式化的数学问题展现在学生面前.教师还自以为帮了学生很大的忙，避免学生做许多看似与数学无关的无用功，殊不知反而误了学生！数学问题形式化，会降低学生对数学的兴趣，这一点姑且不论，老师的越俎代庖，会让学生更加依赖老师，在试题的信息量越来越增大的趋势下，难道学生都要指望教师帮忙来分析、提炼题目吗？

三是学生依赖计算器，笔算能力越来越弱.在日常教学中，有些教师过度依靠计算机和计算器，他们只重方法，忽视过程和运算，认为老师的作用只是讲思想方法，至于运算那是学生课后自己下来的事情.

导向要求

从知识而言，本题考查了正态分布、小概率事件、二项分布、样本估计均值与方差等；从能力素养上，考查了阅读能力、数据处理与分析的能力、计算能力，而且要求还不低.

教学反思

本题主要就是考查学生对数据获取、数据分析、知识构建、基本计算等方面的能力与素养，从一线教学实践来看，我们在课堂教学上应该注意以下几点：

一是教师要刻意对学生阅读能力、提取信息能力的培养，不能将之简单归之为语文教师的事情；

二是在遇到较为复杂的计算时，绝不能自己偷懒，让学生自己课后计算，而从不示范一遍.其实，计算的每一步，都蕴含着对学生运算能力的培养，教师只讲方法忽略此步，是一种很不负责任的表现，也是一种脱离实际的教学.

试题略解

(1)P(X=0)=C016(1-0.9974)00.997416

≈0.9592，

P(X≥1)=1-P(X=0)≈0.0408，

由题可知X～B(16，0.0026)，

所以E(X)=16×0.0026=0.0416.

(2)(Ⅰ)尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理.

(Ⅱ)μ-3σ=9.97-3×0.212=9.334，

μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606，

(μ-3σ，μ+3σ)=(9.334，10.606)，

因为9.22∉(9.334，10.606)，

所以需对当天的生产过程检查，

因此剔除9.22

σ2≈0.008，

2.6 数学抽象——形式而有理

真题再现

2016年全国Ⅲ卷理科第12题：定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有________.

A．18个 B.16个 C.14个 D.12个

思维障碍

对于新定义的理解，根据新定义抽象出其特征，对于学生而言是个难点.本题第一个难点是对于“任意k≤2m，a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数”的理解不到位，无法确定第一个和最后一个数，而且在后面的解题过程中没有始终坚持运用；其次，由于本题遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，如果学生不善于用表格法、树状图来一一列举，很容易出错.

障碍分析

数学抽象是学习数学的一个必备能力.在高中阶段，对于数学形式化已有一定要求，数学抽象已是基本素养之一.如果学生抽象出函数模型的能力较弱，新概念抽象理解能力较弱，那么解决本题类似的题目就势必障碍重重了.

导向要求

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构；用数学语言予以表征等.高考中对数学抽象的要求往往较高，有一定的难度，而且和其它知识、其它数学思想方法综合考查.

教学反思

在课堂教学中，数学形式化的教学往往收效甚微，教师花费不少力气，学生却一片茫然，学生更多的是想不到、为什么；老师却是心中明白，欲说又不知从何谈起.因此，在此部分内容教学时，千万不要脱离学生的实际，从最简单的做起，逐步培养学生的抽象能力、概括能力，从而弥补抽象的、空洞的、乏味的、说教般的数学形式化教学的不足.

试题解析

由题意，得必有a1=0，a8=1，则可以采用一一列举的办法列举出来共14个，故选C.

3 反思

高考命题对核心素养考查的导向，这是一个我们必须面对的问题，它倒逼我们课堂教学进行改革，让我们反思.

比如，如何教会学生解题？很多老师不考虑学生实际，不注重能力培养；注重自我讲解，自我体验；沉浸于自我世界，自我陶醉；这样的表演与展示，学生最多学会了机械的模仿，在核心素养能力培养上没有一丝进步.

事实上，教解法不如教想法.在具体教学过程中，我们可以先让学生审题、独立思考，说“想法”(必要时引导)；其他同学质疑、补充，实施“想法”，落实到纸笔上；最后提炼思想方法，讨论变式、一题多解、多变.这样做的好处在于：可以着力改善解数学题过分依赖题型记忆、复制模仿的状况；尽力使学生在崭新的习题情境前，根据已有的数学经验，以研究者的心态，挖掘隐含信息，分析、解决问题.当然，学生形成“想法”要经历如下心路历程：阅读理解→获取直接信息或挖掘隐含信息→信息直观化(图形、图像)、符号化(代数式表达)→依据自己的固有经验、思想方法，实现化简、化归.当学生在形成“想法”的过程中，遇到困难，老师课堂上怎么做呢？可以采取如下策略：与学生共同阅读理解，并挖掘各类信息→帮助学生将信息直观化(图形、图像)、符号化(代数式表达)(注意数形结合图当先)→帮助调动学生固有经验，实现化简、化归，等价转化(常用“由已知想可知，由未知想需知”，沟通“可知”与“需知”.)这种做法其实就是强调学生对学习过程的实质参与！

这也就是把数学核心素养的培养落到了实处！