微观分析图象 探微寻法悟理

安徽省金寨第一中学 六安市名师工作室 (邮编：237331)

解决函数问题思维切入点从何而来？灵感因何而生？毫无疑问，对图象的分析必不可少，很多时候，灵感来自图象.分析图象有时需要把握全局，分析整体，有时只需微观探究，盯准局部，微观分析，尤其涉及函数零点、极值点问题.笔者在文[1]进行了讨论，近日研究部分高考题，更发现微观分析图象，找到解题灵感之重要性，现举例说明.

1 见微知理

题1(2018年全国高考理科(Ⅲ)卷21题)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，证明：当-10时，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.

分析第二问.函数的定义域是(-1,+∞).由(1)可知a≥0不合题意，只要考虑a<0.现在利用f(x)的微图结合f(x)的导数f′(x)分析.

第一，注意到f(0)=0，f(x)在x=0处连续，若f(x)在x=0处取得极大值，则f(x)在x=0的邻域(-δ,δ)(邻域：本文中指“极小”的区间，下同)内，恒有f(x)≤0，可作出其“微图”，如图1.

图1

第二，f(x)在x=0处取得极大值，则在x=0的邻域(-δ,δ)内f(x)先增后减，f′(x)在x=0处先正后负且f′(0)=0，对应的f′(x)微图应为：在y轴左边图象在x轴上方，y轴右边图象在x轴下方.

图2

h(x)在x=0的邻域(-δ,δ)内连续，且h(x)=0，在x=0的邻域(-δ,δ)内的微图同图1，这样，问题转化成函数h(x)在x=0处取得极大值(结合微图分析，实现解决极值问题的“函数转化”).下面求出h(x)的导数，再结合“微图”对h(x)的导数h′(x)进行分析.

图3

(1)当6a+1>0时，φ(x)如图3(只需关注图象在x=0的邻域(-δ,δ)，下同)，取δ

图4

(2)当6a+1<0时，φ(x)如图4，取δ

图5

(3)当6a+1=0时，φ(x)如图5，取δ

从上述问题解决过程可以看出，用图象辅助分析函数极值不一定要分析函数或导函数的整体状况，只要探究极值点附近如何变化(这一点很重要，它可以避免了暂时对参数的讨论)，瞄准极值点附近函数局部图象，局部放大，微观分析.因此，凡涉及极值问题，在分析图象时均要想到“微图分析”，既要分析函数在极值点附近的微图，看“单调变化”；又要分析导函数在其零点附近的微图，看“正负变化”，观察导函数正负“走向”，如：是正负不变，还是由正变负或由负变正？从而知道函数能否取到极值，是极大值还是极小值.

微观分析，也是极限思想的应用，如构造函数h(x)时，在x=0的邻域(-δ,δ)内，2+x+ax2>0，h(x)与f(x)同号；分析导数h′(x)时，在x=0的邻域(-δ,δ)内，(1+x)>0，2+x+ax2>0，使问题简化.

2 探微索果

题2(山东省2015年高考理科21)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

(2)若∀x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范围.

分析第二问.显然a<0不合题意，a=0，合题意.现在分析a>0时的情形.

虽然不知道f(x)在(0,+∞)整体单调性，但由于f(0)=0，所以微区间(0,δ)内，f(x)必然单增，亦即通过“微区间”分析，使隐含的信息凸显(如本例中在(0,δ)内函数必须单增)，使问题解决的思维暴露.同样的方法可以解决以下问题.

题3 (2017年全国高考理科(Ⅲ)卷21题)已知函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)略.

图6

分析(1)函数定义域为(0,+∞)，注意到f(1)=0，f(x)连续，因此，若f(x)≥0，则在x=1的邻域内函数微图如图6，即x=1是函数极小值点，所以f′(1)=0，a=1(f(x)≥0的必要条件)，现在只要证明a=1时，f(x)≥0即可(易证，过程略).

题4(四川省2015年高考理科21题)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.

(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(2)证明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立，且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

简析第二问难度很大，用微图辅助分析.

图7

微图分析使我们发现了隐含较深的“关系”，找到了问题解决的切入点.本例中，x0既是零点又是极小值点，满足f′(x0)=0和f(x0)=0，并利用f′(x0)=0实现变量之间转化.

3 以微定向

函数零点问题中，我们经常要求零点所在区间或证明某一单调区间上存在零点，用零点附近的微图能够确定解决问题的努力方向，再结合不等式放缩分析求解.

题5 (2017年全国高考理科I卷21题)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

图8

而当00，根据零点存在性定理，上述两个区间各有一个零点.但对于高中学生而言，极限方法不在学习内容之内，学生难以理解，教师难以讲清楚，高考标准答案中也极力回避用极限方法求解(包括用洛必达法则求极限)，因此，只要能够在这两个区间上找到使f(ξ)>0的ξ值即可.分析可知，f(x)含零点在内的局部图象如图8(实线部分).

由于求f(x)的零点或得出f(ξ)>0的点ξ比较困难，考虑放缩成比原函数小且能够求出零点的函数(图中的虚线部分，一般与原函数在放缩的区间上单调性一致).

①先考虑区间(-lna,+∞)，怎样找到使f(ξ)>0的ξ值呢？关键是在区间(-lna,+∞)上找到比f(x)小的函数φ(x)(这是微图分析的结果).

由于x>0时，ex>x，当aex+(a-2)>0时(注：只要x>ln(2-a)，就有aex+(a-2)>0成立，我们就在x>ln(2-a)时进行放缩)，

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ex[aex+(a-2)]-x>x[aex+(a-2)]-x.

②再分析在区间(-∞,-lna)上能否寻找到使f(ξ)>0的ξ值.事实上，可以通过“试取”的方法得到ξ，但为了说明微图的作用，并利用放缩法求解，同样用上述方法分析.

图9

当然，放缩的方式有无数种，但无论如何变式，都是基于对零点附近图象探究而得到的启发.如果零点附近图象如图9(实线代表原函数，虚线代表放缩后的函数)，则放缩应朝着大于原函数的方向进行.

用图微观分析的作用是：怎样通过放缩找到并证明包含函数零点的区间端点.图象是不等式放缩的直观显现和几何解释，学生理解更易.如果不用微图分析，学生有时很难理解为什么要用不等式放缩，为什么朝着比原函数小(或者大)的函数方向放缩.

准确作图，以微图分析，是基本的数学能力，养成用图分析的习惯，是基本数学素养的体现，微图使思维“可视”，微图使思维插上翅膀.函数教学时，要培养学生作图用图的意识，以图助思维，以图寻思路.