由一道数列递推式求通项公式得到的启发

殷贺

【摘要】 对利用数列递推式求通项公式的研究旨在让学生在做题时达到举一反三，触类旁通的效果.文中列举了此类题目的两种解法，可看作此类题目的通用解法，学生掌握起来非常方便，易于理解，同时也促使学生慢慢养成研究问题的心态.

【关键词】 数列;递推式;通项公式;构造数列

利用数列的递推式求通项公式是求数列通项公式问题中一类比较重要的问题，很多学生在面对这类问题时不知道要从何处下手.针对课堂上出现的这一类问题，笔者进行了总结归纳，其中的一类问题其实可以用一种比较简单实用的解法解出来，在这里介绍一下.

例1   已知：an+1=2an+2n+1，a1=1，求an.

解  在等式两边同除以2n+1可得： an+1 2n+1 = an 2n +1，

即 an+1 2n+1 - an 2n =1，这样就构造了一个等差数列  an 2n  ，

首项为 a1 2 = 1 2 ，公差为1，

从而可求得： an 2n = 1 2 +（n-1）=n- 1 2 ，

则an= n- 1 2  ·2n.

笔者发现这道题之所以能够构造等差数列，在于它是an+1=ban+cbn形式的，因此，两边同除以bn+1后可以构造出等差数列来.问题如果变一变，刚才的办法也是适用的.

例2   an+1=3an+2n+1，a1=1，求an.

解法一  在等式两边同时除以3n+1可得：

an+1 3n+1 = an 3n +  2 3  n+1，

即 an+1 3n+1 - an 3n =  2 3  n+1，这时我们没有构造出等差数列，但是可以用叠加法求通项公式.

由上述递推式可得： an 3n - an-1 3n-1 =  2 3  n，

an-1 3n-1 - an-2 3n-2 =  2 3  n-1，

……

a2 32 - a1 31 =  2 3  2.

叠加得： an 3n - a1 31 =  2 3  n+  2 3  n-1+…+  2 3  2= 4 3 - 4 3 ×  2 3  n-1.

因而，可求得：an=5×3n-1-2n+1.

由以上两个题可得，形如an+1=Aan+C×Bn的递推式，不管A与B是否相等，均可以在等式两边同时除以An+1，从而可构造出可用叠加法求通项公式的数列.

那么问题如果在复杂一点，是不是还可以采用上面的办法？

例3   已知an+1=3an+2n+1+3，其中a1=1，求an.

解  在等式两边同时除以3n+1可得：

an+1 3n+1 = an 3n +  2 3  n+1+  1 3  n，

即 an+1 3n+1 - an 3n =  2 3  n+1+  1 3  n.

显然可以用叠加法继续求得通项公式：an= 13 2 ×3n-1-2n+1- 3 2 ，这里就不再赘述了.

然而并不是说上面的问题只能用这个办法来做，其实像例2、例3我们还可以用待定系数法构造等比数列.

例2解法二：an+1+x·2n+1=3（an+x·2n），

可解得：x=2.

从而构造出：an+1+2n+2=3（an+2n+1），

其中a1+22=5，

所以{an+2n+1}是以5為首项，3为公比的等比数列.

则an+2n+1=5×3n-1，即an=5×3n-1-2n+1.

例3解法二：不同于例2的解法二，我们在设参数时需要增加一个参数y，即

an+1+x·2n+1+y=3（an+x·2n+y），

同理解得x=2，y= 3 2 .

从而构造出：an+1+2n+2+ 3 2 =3 an+2n+1+ 3 2  ，

首项为a1+22+ 3 2 = 13 2 ，

即有 an+2n+1+ 3 2  是以 13 2 为首项，3为公比的等比数列.

则有an+2n+1+ 3 2 = 13 2 ×3n-1，

从而an= 13 2 ×3n-1-2n+1- 3 2 .

例2、例3的解法二均采用了待定系数法，构造出等比数列，此法也使得问题简单化.以上给大家提供了这类问题的两种不同的解法，这两种解法使得这类问题简单易行，学生容易掌握，大呼过瘾.而对其他类似的问题也就不感觉那么难了.