浅议小学数学教学中的猜想和证明

马凤琴

皮亚杰的研究指出，在具体的证明过程中，儿童很难仅仅使用文字和符号（已经诵记的数学概念或定理）来做出推论，但是儿童能够通过猜想和验证，真正参与到证明活动中，从而通过亲身演绎推理，升华数学思维。因此，证明活动在小学数学中变得很重要，因为证明活动的论证模式和论证表达方式对小学生更深层次理解数学概念，具有关键作用。

一、证明是数学的核心，应该是小学生学习数学经验的核心要素之一。在推测和证明定理的过程中，数学家参与各种活动，这些活动在定理和证明的最终形式中没有明确描述。特别是，数学家必须不断测试其数学论证的逻辑链的正确性和一致性，例如，通过搜索反例。事实上，非正式的，准实证的数学并不是通过单调增加无可置疑的定理的数量来发展的，而是通过猜测和批评，通过证据和反驳的逻辑来不断改进猜测的，提出反例的反驳也常常在数学中发挥重要作用。学生的数学学习应该在某种程度上反映这种数学过程，甚至在小学阶段，证明活动能为他们提供这样的机会。学校数学中的证明，应该被概念化，以便它立即将数学作为一门学科，并将学生称为数学学习者。数学教师和教育工作者实施具有证据和反驳的数学过程，对小学生实现数学学习，开发数学思维而言是理智且诚实的。二、反驳和反例不仅在数学学科中发挥了重要作用，而且在数学学习中也发挥了重要作用。数学的不确定性有一些积极的意义，因为它可以促进持续的探究，或更一般地说，许多宝贵的学习经历都是通过“错误活动”来促进的，这些“错误活动”是为了利用“错误”启动和支持探究的潜力而设计的教学活动。“错误”，即使是矛盾，暂定假设和定义等边缘情况，对比结果或无意义的结果，也被认为是错误活动的合法起点。因此，为了在小学数学中获得如此宝贵的学习经验，数学教师和教育工作者必须分析学生如何反驳猜想或反例，因为反驳和反例可能成为错误活动的起点。小学生很难通过有效的理由判断陈述是错误的，但孩子们可以通过一个反例，证明他们的判断。虽然一个反例在数学上足以驳斥一个陈述，但不同的例子对学习者对陈述的错误性的说服程度会产生不同的影响。

二、当小学生面对他们所证明的猜想的反例时，他们如何重新审视他们的猜想和证明？学校数学证明意义的概念化，可以在课堂环境中应用如下：证明是一种数学论证，是一种与数学主张相对或反对的断言连接序列，具有以下特征：它使用课堂接受的陈述，这些陈述是真实的；它采用的形式的推理（论证模式）是有效的，并且在课堂的概念范围内是已知的；它与表达形式（论证表现形式）进行沟通，这些表达形式适用于课堂或在课堂教授的数学概念范围内。根据这种概念化，证明不必限于在许多情况下用数学符号表示的形式证明，相反，需要考虑数学真实性和学生（或课堂）的发展，以及非正式的证明，例如基于一般例子的图表或证据的证据，应该被认为是符合教学实际需要的，尤其是在小学数学方面。

三、面对一个反例并修改猜想——发明一个更全面的猜想。不仅高等数学，小学数学通过提出反例，也可以促进学生积极改进猜想和证明。什么样的猜想或证据分析会导致这种改进？事实上，对作为原始猜想的虚假原因的把握，可以通过添加条件来适当地修改它——修改可以被视为“证明和反驳的方法”。此外，诚实地接受了原始猜想的错误，并通过限制其范围来修改它，这将反映出“归纳态度”，这种归纳态度对于发明新猜想的线索和理解数学至关重要。能够抓住先前思想的哪一部分适用于反例，那么就可以从这一部分的基础上发明更全面的猜想，其中包括反例。事实上，如上所述，原始猜想的证明的一部分，仍然属于反例的范畴。由于掌握了一个事实，就可以发明一个新的猜想，小学数学中的证明活动的主要功能不是证明陈述是真实的或解释为什么它们是真实的。数学证明具有发现功能，“断言”要证明“问题”的目的是确定地表明一个明确陈述的陈述是正确的，或者表明它是真的——这样理解有失偏颇。要证明的，问题的真正目的应该是改进，事实上，改进往往可以将原始的，“天真的”猜想转化为真正的“定理”。如果数学教师和教育工作者打算在小学阶段获得基于知识诚实原则的证明，还必须考虑学生的认知发展，通过分析证据来考虑如何帮助学生发明新的猜想。如果教师准备适当的任务并促进学生适当地使用证明活动，学生就能够发明新的猜想。

总之，在数学态度和修改猜想和证据方面，当小学生面对其猜想的反例时，他们试图通过对其证明的分析来理解猜想为何是错误的，这是有价值的。找到适用于反例的证明部分也很有成效的，因为这部分能引导小学生发明更全面的陈述，其中包括反例。这些对猜想和证明的分析不仅对小学生而且对所有年级和所有内容领域的数学学习都很重要，证明活动有时在这些分析中还起着重要作用。数学教师和教育工作者应该打算通过证明和反驳来实现反映真实数学过程的数学学习，因为这种数学学习可以被视为“授人以渔”。当然，他们也必须考虑学生的发展。这项研究表明，如果安排了适当的环境，即使在小学阶段也可以获得这样的数学学习，并且不仅接受反例并且承认猜想的错误，而且更深入地分析猜想和证据对于体验真正的数学过程是重要的。因此，教师不仅要在小学教学，而且要在所有年级教学，教师应准备适当的学习环境，并在面对反例时向学生提出以下问题：例如，“为什么你的猜想变得错误？”，“你的证据中是否有任何部分在反例中被破坏？”，“你的证据的哪一部分可以应用于反例的情况？”，和“你能用这个部分发明一个新的猜想吗？”。