巧借等差数列凸显妙解之美

赵小青

【内容摘要】如今，在新课改下，对高中生创新思维以及创新能力加以培养属于数学教学期间的重要环节。数学课上，除了要让高中生对一些常规性的解题方法加以掌握之外，同时好虚站在不同角度对数学问题加以思考，进而实现一题多解。而本文重要借助例题对巧妙构建等差数列进行解题的方法加以说明，并且在教学中进行应用，进而对高中生创新思维以及创新能力加以提升。

【关键词】等差数列 创新是为 高中数学

新课改下，高中阶段的数学教学十分重视培养学生的思维能力，并且强调要对学生的创新思维加以训练。而数学乃是培养学生思维的重要学科，教师如果可以对数学问题加以巧妙安排，并且对问题加以巧妙引导，给学生营造良好思维环境，这对训练学生思维十分有利。在高中时期，函数思想始终贯穿其中，而等差数列属于特殊函数，其是高考重点考查的对象。因此，数学课上，教师若能让学生借助等差数列站在不同角度对问题加以思考，对问题加以巧妙解决，便可提升解题的灵活性，进而对高中生创新思维加以良好培养。

一、在函数当中显现妙解之美

例如，如果x+y=4，求z=х2+у2的最小值。

分析：一般解答上题可进行代入消元，将其转化为二次函数再进行解答。假设站在等差数列这一角度进行思考，从x+y=4可得到，x，2，y构成了一个等差数列，假设公差是d，那么x=2-d，y=2+d，将其带入到z=х2+у2之中便能得到变量d有关的函数，进而使得运算得以简化，对等差数列加以巧妙构建，并且对构造之美加以突显。

解：设x=2-d，y=2+d，那么z=х2+у2=（2-d）2+（2+d）2≥8，

当d=0之时，可取“=”，即x=y=2之时，原式可取最小值8.

再如，如果3sina+cosa=0，那么1sin2a+cos2a的值是   .

A.103 B.53 C.23 D.-2

分析：平时在对此题加以解答之时，基本上都是把三角函数有关公式进行变形，而如果站在等差数列这一角度加以思考，从3sina+cosa=0能夠看到3sina，0，cosa可构成一个等差数列。

解：从3sina+cosa=0能够看到3sina，0，cosa可构成一个等差数列。

现设3sina=0-d，cosa=0+d，因为sin2a+cos2a=1，就能得到d29+d2=1，因此d2=109

Sin2a+cos2a=sin2a+1-2sin2a=1-sin2a=cos2a=d2，

即1sin2a+cos2a=109

此题通过对等差数列进行构造，把三角函数方面求值运算变成代数分式方面求值运算，解法既新颖，又简捷，能够对构造之美加以突显。

二、在方程当中显现妙解之美

例如，解方程x-1+9-x-4=0.

分析：该题能够移一个根号到等号的右边，之后让两边平方，然而做起来较为麻烦。而站在等差数列这一角度进行思考，根据x-1+9-x=4来构造一个x-1，2，9-x的等差数列，假设d是公差，那么x-1=2-d，9-x=2+d，通过两边平方来消除x，把原问题变成d有关的二次方程，能够凸显出妙解之美。

解：设x-1=2-d，9-x=2+d（-2≤ d≤ 2）

那么x-1=（2-d）2，9-x=（2+d）2，

把两式进行相加，能得到8=（2-d）2+（2+d）2，通过整理能够得到d=0.

因此x-1=2，最终解得x=5.

通过对等差数列加以构造，能够对学生思维加以拓展，并且使得计算得以简化。

三、在不等式中显现妙解之美

例如，现已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求c具体取值范围。

分析：看起来此题和数列无关，然而却可对等差数列进行巧妙应用，进而让问题得以简化，从而得到解决。

解：可把a+b+c=1进行变形，得到a+b=1-c，进而得到a，1-c2，b构成了一个等差数列，假设d是公差，那么则有a=1-c2-d，b=1-c2+d，

1=a2+b2+c2=（1-c2-d）2+（1-c2+d）2+c2，通过整理能够得到：

4d2=-3c2+2c+1≥0，即3c2-2c-1≤0，解得-3≤c≤1.

此题是直接求解c的范围，这样就显得十分麻烦。然而通过对等差数列加以构造，可以实现消元目的，将其转化为不等式，这样就可对计算加以简化，并且对学生思维加以锻炼，突显出构造之美。

四、在几何当中显现妙解之美

例如，F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1，（a>b>0）的左焦点与右焦点，假设椭圆之上总有一个点P可以满足PF2⊥PF1，求该椭圆离心率具体范围。

分析：此题拥有不少解答方法，根据条件可知，满足PF2+PF1=2a。站在等差数列这一角度进行思考，PF1，a，PF2可以构成一个等差数列，这样问题便可被顺利解决。

解：由于PF2+PF1=2a，同时PF1，a，PF2可以构成一个等差数列，因此可以设PF1=a-d，PF2=a+d，又因PF2+PF1=2a，那么PF12+PF22=F1F22，因此，a2+d2=2c2≥a2，所以e2≥12，也就是说22≤e≤1.

解答此题的常用解法就是借助椭圆定义以及性质，但计算起来稍显麻烦[1-2]。假设可以站在等差数列这一角度进行思考，便能对计算加以简化，这样还能显得解法十分特别，进而突显出解法的巧妙。

结论

综上可知，新时期，教学具有的根本任务就是让所有学生都得到发展。而一堂质量高的数学课，需要教师对课堂良好氛围加以创设，并且设置与内容相符的课堂情境，促使学生主动投入到知识体验之中。所以，数学课上，教师需注重引导学生站在不同角度借助新思路对数学问题加以解决，并且对高中生自我潜能进行充分发挥，进而对其创新思维加以培养。

【参考文献】

[1]杜文静.刍议高中数学教学中如何培养学生的创新意识[J].中国校外教育，2017（35）：48-49.

[2]陈晨.如何在高中数学教学中培养学生解题能力[J].文化创新比较研究，2017，1（19）：72-73.

（作者单位：江西省赣州市南康区第四中学）