有心圆锥曲线与顶点有关的两个统一性质的推广及拓展

福建省莆田第五中学 (351100)

黄海霞

文【1】给出了有心圆锥曲线与顶点有关的两个统一性质，即以下的性质1、2、3.，读后颇受启发，但觉意犹未尽.本文拟对这两个统一性质进行推广及拓展.先把文【1】的性质1、2、3抄录如下：

以上性质揭示了有心圆锥曲线与顶点有关的两个统一性质，下面对这两个性质进行推广及拓展.

1.性质的纵向推广

以上性质中的点A、B分别是有心圆锥曲线的顶点，即椭圆长轴或短轴、双曲线实轴的两端点，我们不禁要问：如果A、B分别是椭圆、双曲线任一定直径的两端点，那么有什么相应的结论？

这就得到了性质1、2的推广：

(2)kAM·kBN=e2-1.

类似地，可以把性质3推广为

2.性质的逆向推广

3.性质的拓展

以上关于双曲线的性质3.1、3.2均只涉及“直线PA、PB分别与y轴交于点M、N”的情形.由于双曲线C没有上、下顶点，故文【1】关于双曲线的性质没有涉及“直线PA、PB分别与x轴交于点M、N”的情形.现我们已把双曲线C的实轴两端点推广到任一定直径的两端点，那么，关于双曲线的性质就可以拓展到“直线PA、PB分别与x轴交于点M、N”的情形.

这就得到了性质3.1的拓展：

类似性质2.2的探究，可得性质4.1的逆命题成立.

至此，我们完成了对文【1】的性质1、2、3的推广及拓展.