经典问题探究——构建有效课堂的着力点之一

福建省龙岩市第一中学 (364000)

胡寅年

什么是有效课堂？

有效课堂，指能够有效地促进学生发展，并促使学生有效学习的教学．衡量一节课是否有效，在于学生学到了什么？学到了多少？特别是在培养学生的数学思维能力方面收获了多少？有效课堂的核心，是在课堂教学活动中，在效应和效率上追求“有效”，变“接受式”学习为主动的探究性学习．明晰的教学目标、科学的教学预测、精彩的课堂生成、探究性学习的过程是有效课堂的基本特征．

一言以蔽之，构建有效课堂的核心，就是要让学生动起来——动脑(积极思维)、动口(踊跃发言)、动手(探索发现)、动脚(社会实践)，乃至动心→心动．

那么，在课堂(例题)教学中，我们如何才能追求到效应和效率上的“有效”呢？以经典问题为中心的探究活动，不失为一条切实可行的途径，它应当成为构建有效课堂的一个着力点．

图1

性质1 如图1,设抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交Γ于A、B两点．点C在准线上，且BC∥x轴，则直线AC经过原点O．

以上是抛物线焦点弦的一个几何性质，它曾经两次(2001全国、1987广东)被当作高考试题，实在罕见！一方面，本题来源于《平面解析几何》的两道习题，难易适中，思路很宽，内涵也十分丰富，区分性能又很好；另一方面，由于抛物线的几何性质深刻地揭示了抛物线的本质特征，是抛物线基本性质的进一步发展，而抛物线几何性质的证明，又能很好地体现解析几何的思想与方法，因而它得到了高考命题专家的(如此)青睐，勘称高中数学的一个经典问题．由此，在课堂(例题)教学中，我们把上述经典问题作为一个典型例子，引导学生从多角度(一题多解)、多层次(一题多变)、多方面(一题多思)进行以下深入的探究．

性质2 如图2,过抛物线Γ:y2=2px(p>0)焦点F的直线交Γ于A、B两点，记准线与x轴的交点为H，则x轴为∠AHB的内角平分线．

图2

图3

性质3 如图3，过抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交Γ于A、B两点，自A,B向准线l作垂线，垂足分别为A1,B1，O1为线段A1B1的中点．记准线与x轴的交点为H，直线A1F与AO1交于点P，直线B1F与BO1交于点Q，直线AA1、BB1分别与y轴交于点M、N．则

①点P，Q分别落在y轴上；

②四边形PFQO1是一个矩形；

③O1A，O1B分别是Γ的切线；

④ΔAO1B，ΔA1FB1，ΔA1PA，ΔO1FA等分别是射影定理三角形；

⑤以AB为直径的圆与准线l相切于点O1．以A1B1为直径的圆与直线AB相切于点F．以AF为直径的圆与y轴相切于点P．

这是一组非常实用的几何性质，也让咱们感受了一下曲线之中平面图形的魅力，限于篇幅，证明略去．

例2 (2013年全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( ).

A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8x

C．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

例3 (2018年全国Ⅲ卷)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=90°，则k=．

简析：本题与例1如出一辙，根据性质3④，容易算得k=2．

例4 (2018年全国Ⅰ卷)设抛物线C:y2=2x，点A(2,0)，B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(Ⅰ)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(Ⅱ)证明：∠ABM=∠ABN．

简析：明显地，本题的第(Ⅱ)问取材于上述性质2，是抛物线焦点弦几何性质的引申，主要考查解析几何的思想与方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，以及考查学生分析问题的能力等(证明过程略)．

例5 (2018年全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8．

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．

图4

简析：如图4，本题的第(Ⅰ)问，由抛物线的定义等，容易求得l的方程为y=x-1．第(Ⅱ)问似由性质3⑤改造而成，主要考查学生的思维品质，以及分析问题的能力等．事实上，由(Ⅰ)可得AB的中点坐标为H(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5．设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

从以上实例可以看出，高考命题专家对于抛物线焦点弦的几何性质是十分青睐的，或作为小题直接考查学生对性质的认知(如例3)，或作适当改造、包装，使之成为一道难易适中的解答题(如例5)．启迪我们要通过对它们卓有成效的教学，提升学生的探究能力及核心素养．