完善用三角函数线证明两角差余弦公式

湖南省长沙市雅礼中学 (410007)

伊 波

人教A版数学必修4用三角函数线证明两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，叙述如下：

图1

我们先对简单的情况进行讨论.如图1，设角α、β为锐角，且β<α，角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1=β，则∠xOP=α-β.过点P作垂直于x轴，垂足为M，那么OM就是角α-β的余弦线.这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1，垂足为A，过点A作AB垂直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为C，那么OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC=∠P1Ox=α.于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.值得注意的是，以上结果是在α、β、α-β都是锐角，且β<α的情况下得到的.要说明此结果是否在角α、β为任意角时也成立，还要做不少推广工作，并且这个推广工作比较繁难，同学们可以自己动手试一试.

笔者发现很多老师在授课时都回避了这个推广工作，多数学生看到“繁难”二字，也望而却步.但是这个推广工作，却能够加深学生对三角函数线、诱导公式的理解和应用，具备较强的探究价值，下面笔者将把这个证明给予完善.

由诱导公式可知要证cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,只要证明cos(α0-β0)=cosα0cosβ0+sinα0sinβ0，这里不妨设α0>β0.

情况三：若α0,β0之间相差二个象限，则cos(α0-β0)=-cos[(α0-π)-β0]，此时α0-π和β0在同一个象限，则可化归为第一种情况.

以上的补充内容即可完善课本中用三角函数线证明两角差的余弦公式的过程.教师在新授课中，不管是概念教学，还是定理和公式教学，培养学生的探究力是非常关键的，而这种探究首先应该从课本入手，挖掘课本中的“疑难杂症”，让学生养成良好的探究习惯，这将为学生成为研究型学生奠定基础.