加强转化能力培养，揭示解几问题本质

安徽省滁州中学 (239000)

张 泓 王 圣

文[1]项卫华老师对2018年全国新课标试卷第19题作了引申推广，本文从转化的角度探究2018年全国新课标卷第19题试题命制的本质.

图1

1 真题再现

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

2 转化途径的开发

当直线AB斜率不存在时，(2)问结论明显成立.下面主要考虑直线AB斜率存在的情况.重点是落实到∠OMA=∠OMB的等价转化上.通过不同角度的转化、联想、探究，使得不同模块的知识串联起来，加强知识模块的综合，提升学生综合解决问题的能力，在探究的过程中提升数学素养.

转化途径一：角的相关问题，结合高中知识模块，容易往向量数量积角度转化，属于常规转化，思维技巧较小，学生也比较容易切入，运算量相对较大.

转化途径三：原命题等价于证明FM为角∠AMB的平分线，可以将几何图形的特征，利用相似，转化为代数表达式.

图2

如图2，不妨假设点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在x轴上下方，即y1>0,y2<0.若能证明ΔAA′M与ΔBB′M相似，则命题得证.

⟺[x1k(x2-1)+x2k(x1-1)-2(k(x1-1)+k(x2-1))]=0，⟺2x1x2-3(x1+x2)+4=0.

转化途径四：原命题等价于证明FM为角∠AMB的交平分线，从角平分线的定义角度进行转化，也比较贴切学生的思维特点.

P(p，0)到直线AM，BM的距离分别记为d1,d2，则可得原命题转化为以下证明：

转化途径五：可以结合角平分线的定义，通过几何图形对称转化成代数关系式.

转化途径六：学生进入到高中，平面解析几何的入门知识即为直线的倾斜角与斜率，很自然地把角度问题转化为斜率问题来处理，且运算量相对较小.即有：

事实上，也可以设直线的参数方程

转化途径七：涉及到斜率和中点相关解析几何问题我们经常考虑使用“点差法”，事实上，点动成线，线动成面，平面解析几何中很多问题都可以归结到点的本质属性研究.所以我们也可以从点的角度加以转化，通过对偶式的代数运算，最终解决问题.

由题设条件可得

设x1y2+x2y1=m(4)，(4)+(3)⟹2x1y2=m+(y1-y2)(5)；(4)-(3)⟹2x2y1=m-(y1-y2)(6).

转化途径八：在途径六的转化过程中，我们显然可以对点坐标进行优化，可以考虑从椭圆的参数方程角度，引入三角函数作为辅助工具解决问题.

图3

⟹RT△AA′M与RT△BB′M相似,即∠A′AM=∠B′BM

⟹∠AMO=∠BMO，原命题得证.

3 命题推广及本质

图4

证明：如图4所示，连接CB,AD交于点N，在极点三角形FMN中，点F的极线是直线MN，即为准线.又F(AD,MN)=-1,FM⊥FN,所以FM平分∠AFD.