对2018全国Ⅲ卷21题参考答案的完善*

四川省泸州市泸州高级中学 (646000)

吕荣春

四川省内江师范学院数学与信息科学学院 (641100)

刘成龙

参考答案对我们来说非常熟悉，比如：每一套试卷都附有参考答案；各式各样的参考资料书都附带了参考答案；检测完后老师会公布参考答案等等．在过去使用参考答案的过程中，我们感受了参考答案给我们带来的便利：格式规范，能让学生养成良好的书写习惯；便于学生及时自我反馈检测情况，第一时间纠正错误；给教师备课带来了方便等等．[1]但是，参考答案存在的问题给我们带来了一些困惑．2018年全国Ⅲ卷理科21题(下文简称“21题”)参考答案本身存在问题，让一线教师使用起来很困难.本文对21题参考答案进行完善，供同仁们参考．

试题(21题)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(Ⅰ)若a=0，证明：当-10时，f(x)>0；

(Ⅱ)若x=0是f(x)的极大值点，求a.

一、参考答案存在的问题

为行文方便，这里先给出考试中心提供的答案：

(Ⅰ)略；

(Ⅱ)(ⅰ)若a≥0，由(Ⅰ)知，当x>0时，f(x)>(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，这与x=0是f(x)的极大值点矛盾；

二、参考答案的完善

下面给出命题的证明：

证明：(充分性)若x=0是f(x)的极大值点，则存在δ1>0，使得当x∈(-δ1,0)时，f′(x)>0；当x∈(0,δ1)时，f′(x)<0.因为h′(x)=

同理可证当x∈(0,δ2)时，有h′(x)<0.于是，x=0是h(x)的极大值点.

x∈(-δ′,0)时，有h′(x)=

同理可证存在δ6>0，当x∈(0,δ6)时，有f′(x)<0，故x=0是f(x)的极大值点.

文中命题的证明权作为参考答案的补充，希望对大家理解参考答案有所帮助！