动中求“定”，三招搞定“定值”问题

☉江苏省灌云高级中学 任之庭

解析几何中的定值、定点、定圆和定直线等问题是江苏数学高考中的“常客”，由于它涉及面广、综合性强，且具有一定难度，因而，经常令许多考生“忘题兴叹”.那么，求解这类问题有哪些基本策略呢？本文教你三招.

第一招：设参消参，定值自现

所谓定值，就是动中有“定”，虽然有的量在变，但某个值不变，而变的量往往可以用参数刻画，当联立几个等式消去参数后，定值自然会“浮出水面”.

例1 （2018年安徽合肥高三二模）已知点A（1，0）和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．

（Ⅰ）求动点B的轨迹方程；

（Ⅱ）已知点P（2，0），Q（2，-1），经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．

分析：（Ⅰ）设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A（′-1，0），借助几何知识分析可得动点B的轨迹是以A，A′为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为B；（ ） 当直线垂直于 轴时，=1Ⅱ①lx不合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k（x-2），与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得kPM+kPN=3，故其和为定值．

解：（Ⅰ）结合图形，利用定义法，不难算得动点B的轨迹方程为（过程略）

（Ⅱ）①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=2，此时直线与椭圆l相切，与题意不符．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k（x-2）．

由消去y整理得（4k2+3）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k-8=0．

因为直线l与椭圆交于M，N两点，所以Δ=（16k2+8k）2-4（4k2+3）（16k2+16k-8）＞0，解得k＜

点评：通过设出动直线方程，与椭圆方程联立，进而运用韦达定理直接推理、计算，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值．这是常规思路，主要考查考生的推理能力和计算能力.

第二招：特值探路，心中有数

解题要有目标意识，定值究竟是多少，可以通过特值法求得，然后通过一般的运算加以证明.例 已知 ，是椭圆2 F1F2（ ）的两个焦=1a>b>0点，M是与F1，F2不共线的椭圆上的点，设I为△MF1F2的内心，延长MI与FF交于点N，如图1，求证12为定值.

图1

点评：特殊探路，一般证明，这种从特殊到一般的思维锁定了解题的最终目标.与二次曲线有关的探求定值问题，常以曲线的顶点、焦点及相交弦的端点等作为点的特殊位置，而与对称轴平行或垂直的直线作为直线的特殊位置，在推证时，往往要借助参数，将变量转化为常量，这种转化的难易，既与参数的选择有关，也与证明途径有关.

第三招：方程思想，整体代换

定值问题离不开方程思想，与此同时设而不求、整体代换为这类问题开辟了一条捷径.

例3（2018年江苏南通、徐州、扬州等六市高三二模）如图 ，在平面直角坐标系 中，，是椭圆2

xOyB1B2=1（a＞b＞0）短轴的端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点.当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为4

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值.

图2

点评：在解析几何中，常常会遇到两曲线的交点及相关点的问题，若用常规方法通过解方程组求交点，往往运算量大，易出差错；若设而不求，使用整体思维，便可简捷求解.本解法不仅采用了“设而不求”的思想方法，而且实施了“整体代换”，从而使解答更简捷.

圆锥曲线定值问题，历来是高考的一个难点，难就难在方法的选择上，若方法不当，往往无功而返.如果把握了上述三招，那么解答此类问题必定“旗开得胜，马到成功”.W