一题四大招 妙解离心率

☉江苏省扬中市第二高级中学 张 丽

著名科学家钱学森先生说过：“模型就是通过对问题现象的分解，利用我们思考得来的原理去吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所创造出来的一幅图画.”圆锥曲线中的离心率问题一直是考试的热点问题，也是历年高考、自主招生、数学竞赛中比较常见的一类问题.通过不同方式的设置，求解相应离心率的值、最值、取值范围等，充分考查了圆锥曲线中椭圆或双曲线的几何性质.下面结合一道设置背景新颖的椭圆问题，通过多角度思维的切入解决椭圆的离心率问题，且知识板块融合巧妙，方法多样，是创新与素养培养的好场所.

例 （2019届江苏省某市高三上学期期中考试·13）椭圆的两个顶点A（a，0），B（0，b），过A，B分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点），若BC=3AD，则椭圆T的离心率是______.

本题以椭圆为问题背景，综合平面几何、平面解析几何等相关知识，以求解椭圆的离心率为目的来设置题目.问题的创新亮点在于过不确定的两顶点A（a，0），B（0，b）分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点），结合两线段关系BC=3AD的明确性来切入，为转化与求解提供条件.同时，本题的求解较为繁杂，计算量也大，很好地考查了数形结合思想、逻辑推理能力及运算求解能力等，从而提升素养，拓展品质.

当我们阅读并理解完一道题以后，要不断领悟反思，从多角度切入并进行深度挖掘，从而达到触类旁通、一题多解的效果.不同的切入点有不同的解法，多点思维，多向开花.

由题目条件确定直线AB的斜率，结合AB⊥AD得到直线AD的方程，利用直线AD与椭圆T的方程的联立，结合根与系数的关系的转化确定点D的横坐标，同理可以确定点C的横坐标，再通过题目条件利用向量的坐标运算建立关系式得到a2=3b2，最后结合椭圆的离心率公式加以转化与求解即可.

由题目条件确定直线AB的斜率，结合AB⊥AD得到直线AD的方程，利用直线AD与椭圆T的方程的联立，结合根与系数的关系及弦长公式求得AD长度的表达式，同理可以求得BC长度的表达式，再通过题目条件BC=3AD加以转化，可以化简得到a2=3b2，最后结合椭圆的离心率公式加以转化与求解即可.

设出点D（x1，y1），C（x2，y2），结合条件的转化得到，通过向量的坐标运算确定x2，y2的表达式，结合点D，C都在椭圆T上，联立方程，并通过化简得到3bx1-ay1-3ab=0，再结合条件求解直线AD的方程，利用点D在直线AD上，确定相应的直线斜率相等，化简得到a2=3b2，最后结合椭圆的离心率公式加以转化与求解即可.

解法3：设点D（x1，y1），C（x2，y2）.

由于AB⊥BC，AB⊥AD，则有BC∥AD.

设出点D（x0，y0），进而确定的坐标，根据题目条件的转化得到从而得以确定点C的坐标，利用AB⊥AD，由建立相应的关系式，再结合点D，C都在椭圆T上，联立方程，并通过化简得到3bx0-ay0-3ab=0，通过两方程的对比确定相应的关系式，化简得到a2=3b2，最后结合椭圆的离心率公式加以转化与求解即可.

其实，圆锥曲线的离心率作为一个重要的概念，是描述圆锥曲线形状特征的一个主要要素，特别是圆锥曲线中离心率的求解与应用，内涵丰富且综合性强.解决此类问题时，关键是要抓住题目条件与关键点，掌握一些比较常见的解题思维与相应方法是求解圆锥曲线离心率的主要策略之一.W