☉武汉大学附属中学 谭 泽
已知矩形ABCD,P是任意一点,则|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.
证明:连接AC,BD交于点O,则O为AC,BD的中点.
在△PAC中,由中线长定理,得
(2|PO|)2+|AC|2=2(|PA|2+|PC|2).
在△PBD中,同理,得:
(2|PO|)2+|BD|2=2(|PB|2+|PD|2).
故|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.
图1
解析:在矩形AB2PB1中,由矩形的平方和性质,可得|OB1|2+|OB2|2=|OA|2+|OP|2.
所以|OA|2=2-|OP|2.
图2
图3
点评:此题解法多样,但使用矩形的平方和性质,可以使解答更完美,过程更简洁!
例2 (2014年全国高中数学联赛初赛内蒙古卷第8题)向量a,b,c满足|a|=|b|=2,|c|=1,且(a-c)·(b-c)=0,则|a-b|的取值范围是______.
由矩形的平方和性质,可得:
|OD|2+|OC|2=|OA|2+|OB|2.
点评:本题使用矩形的平方和性质,可以再次感受到该定理的强大!
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
(2)设点F1关于两条切线的对称点为M,N,则根据椭圆的光学性质,可得:|MF2|=|NF2|=6.
连 接 MF1,NF1交 两 条 切线于点A,B,所以四边形AFBP
1为矩形,如图4,根据矩形的平方和性质,得:
图4
则|OP|2=13.
故点P的轨迹方程为:x2+y2=13.
点评:(1)此题解法较多,但是常规运算复杂,难以算出结果,这里的解法使用了圆锥曲线的光学性质,再加矩形的平方和性质,简便、快捷;
(2)此题的背景是教材上阅读材料中的蒙日圆,从阅卷结果看,没有考生使用此法解答.
此题可以推广,如下:
图5
图6
设点F1关于两条切线的对称点为M,N,则根据椭圆的光学性质,可得:|MF2|=|NF2|=2a.连接MF1,NF1交两条切线于点A,B,所以四边形AF1BP为矩形,如图6,根据矩形的平方和性质,得:
故点P的轨迹方程为:x2+y2=a2+b2.
1.已知圆O:x2+y2=6,A,B为圆上两个动点,点M(1,1),若四边形PAMB为矩形,则点P的轨迹方程为______.
参考答案:x2+y2=2.
2(.2017年清华大学自主招生暨领军计划试题)已知P为圆O内一点,A,B为圆O上的动点,且满足∠APB=90°,则线段AB的中点M的轨迹形状可能为( ).
A.圆 B.椭圆 C.一段双曲线 D.一段抛物线
参考答案:A.
3(.2012年江西卷·理7)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则( ).
A.2 B.4 C.5 D.10
参考答案:D.
4(.2012年新课标卷·文23、理23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是P=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.