不畏浮云遮望眼，只缘“热点”在里面——函数热点题型解析

☉江苏省海安高级中学 叶枝凤

函数部分涉及映射、函数的概念、函数的表示法、分段函数、函数的基本性质、基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数等），以及函数与方程、函数模型及其应用等，是高中的基本知识之一，也是高考中的重要考点之一.下面结合近几年高考中函数部分的热点题型加以实例剖析，以期达到突破与提升的目的.

热点1——函数的值域或最值

权威解读：函数的值域或最值及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解的关键是确定相应的最值.因此，求函数的值域时要求出定义域内的所有极值点和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值.在高考中主要考查求解函数的值域问题，从而带动对函数的最值等相关问题的考查，其应用广泛，综合性强，且解法灵活多变.在实际求解中，各种方法往往可以相互渗透，也可以多法并举.

例1 （2018届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）·14）已知a，b为正实数，且（a-b）2=4（ab）3的最小值为______.

解析：由于a，b为正实数，设则有a+b=Mab.

而由（a-b）2=4（ab）3，

可得4（ab）3=（a+b）2-4ab=M（2ab）2-4ab，

可得关于ab的方程4（ab）2-M（2ab）+4=0，

则该方程有解，

在分析运动员每局弹跳高度的基础上，可以分析得知运动员在比赛过程中竞技状态的动态变化。图4显示了球员在各局弹跳高度如何上升和下降。

点评：解决此类双变元的二次代数式问题，往往根据条件对已知等式进行转化或处理，利用基本不等式思维、待定系数法思维、函数与方程思维及其他相关的思维方式将所要求解的双变元的二次代数式加以转化，再结合相关的知识加以解决.

热点2——函数的性质及其综合

权威解读：函数的单调性、奇偶性、周期性是函数的基本性质，分别从不同方面反映函数的属性.通过感知形和数、定量与定性的和谐统一，在形与数、自变量与函数值的转换过程中体会化归思想，培养化归意识和化归能力.这几个函数的基本性质一直是高考中比较常见的考点，可以从函数性质的判定、函数性质的应用、函数的图像等方面考查，在选择题或填空题中出现，有时与相关知识交汇，通过综合与应用的形式出现在解答题中，是每年高考的重点所在.

例2（江西省南昌市2018届高三第二次模拟考试·9）已知函数设g（x）=k（fx）+x2+x（k为常数），若g（10）=2018，则g（-10）等于（ ）.

A.1998 B.2038 C.-1818 D.-2218

解析：由（fx）的解析式知其是偶函数，

则知g（10）=k（f10）+102+10=2018，

解得k（f10）=1908，

所以g（-10）=k（f-10）+（-10）2-10=k（f10）+100-10=1908+90=1998，

点评：通过分段函数的解析式来判断其函数的奇偶性是解决本题的关键，也是解决此类问题的突破口.利用函数的解析式来正确判断对应函数的奇偶性、单调性或周期性，往往会为进一步的求解奠定基础.

热点3——函数图像的识别及其变换

权威解读：从近年的高考来看，试题主要考查函数图像的辨识，以及利用图形研究函数的性质、方程的根及不等式的解集，多以选择题、填空题的形式出现，属于中低档难度题.关键是要熟练掌握基本初等函数的图像及其性质，加强函数性质的应用意识，还应熟练掌握图像变换的法则.

例3已知函数y=f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［-1，1］时，f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（ ）.

A.10个 B.9个 C.8个 D.1个

解法1：当x∈（0，1）时，y=|lgx|=-lgx，它是减函数，而函数y=f（x）=x2在（0，1）上是增函数，所以它们的图像在（0，1）内只有1个交点；

当x∈［1，10］时，y=|lgx|=lgx，它是增函数，而在每个区间［1，3），［3，5），［5，7），［7，9），函数y=f（x）=x2的图像与函数y=|lgx|的图像都有2个交点；在区间［9，10）上有1个交点.

当x＞10时，由于y=|lgx|=lgx＞1，函数y=f（x）的图像与函数y=|lgx|的图像没有交点.

所以一共有1+2×4+1=10（个）交点，故选择答案：A.

解法2：直接画出两个函数的图像，如图1，结合图像可看出两函数图像的交点有10个.

故选择答案：A.

图1

点评：涉及对数函数与其他相关函数的图像交点问题时，往往可以通过直观图形的判断来处理，有时也可以利用函数的性质来转化与应用.熟记基本函数图像以及熟练运用图像变换往往是解决函数与方程问题的一条捷径.

热点4——分段函数的应用及其综合

权威解读：分段函数问题一直是高考考查的热点，纵观近几年的高考试卷，分段函数问题的考查逐渐成为重点.对此问题的考查，主要有以下几种类型：①分段函数的求值问题；②分段函数的单调性问题；③分段函数的值域、最值问题；④分段函数的图像及其应用；⑤分段函数与其他知识的综合问题.分段函数主要考查了分类讨论、数形结合等思想方法的应用.

例4 （福建省厦门市2018届高三年级第一学期期末质检·12）已知函数若（fa）则a的取值范围是（ ）.

点评：解决分段函数问题的关键是针对具体问题，结合参数的不同取值情况加以分类讨论.解决有关分段函数的不等式问题通常有两种方法：（1）利用代数手段，通过对x进行分类讨论将不等式转化为具体的不等式来处理；（2）通过作出分段函数的图像，利用图像特点，运用数形结合来求解不等式问题.

历年高考都对函数内容进行重点考查，其中以考查幂函数、指数函数和对数函数方面的有关内容居多，大体都是从函数的解析式、函数的基本性质等方面入手，与函数的零点、不等式等相关知识加以综合，这类试题一般出现在小题中，难度属于较易型或中等型.F