中学数学中复合函数相关问题分析

重庆大学应用技术学院(400044) 张悦

引言 函数是数学学科中关键的组成部分之一,无论是对学生还是教师而言都具有一定的挑战性.在高中数学中我们学习了函数的几类基本性质(如:单调性、奇偶性、周期性等)以及常见的几类基本初等函数(如:指数函数、对数函数、幂函数等).在本文中结合函数这些类别和性质来归纳复合函数相关问题,并提出相应的分析思路与方式,进而将复合函数条理化,确保教学更加合理.

在高中数学的知识体系中,函数可谓是最为核心的知识之一.在教学过程中,除了教授学生几类初等函数(如:指数函数、对数函数、幂函数及三角函数等)的定义与性质,对于一般的函数而言,我们也给予学生一定的处理与解决方式,那么,复合函数就是我们考察函数应用最常见的一种类型,处理关于复合函数的问题也是我们在教学过程和学生学习过程中的重难点之一,为此将复合函数在无论是高考选拔或是实际应用中出现的各类形式进行归纳分析,并给予通过自身教学经历和参考文献中的启示对日后教学中处理复合函数问题,做以教学分析与教学方式的分享.

一、复合函数与定义域、解析式问题

函数在最初学习的时候,除了基本的概念,最基础的还有构成函数的三要素(即为:定义域、值域和对应法则),因此,在复合函数的教学过程中,定义域是首要不可忽略的要点之一,其次,涉及了对应法则,那么解析式的考察也是必然出现的一点.

(一)复合函数与定义域

1.典型例题

(1)(抽象)已知f(x)的定义域为[2,3],求f(x2+2)的定义域;

2.类型分析与教学归纳

分析针对(1)中,抽象函数,在没有给定具体函数的表达式下,给定自变量的取值范围(即定义域),求解一类常见复合形式f(g(x))的定义域.针对这类型问题,我们要结合函数的定义与性质,在教学过程中,授予学生局部与整体的数学概念,以(1)为例,针对题设条件f(x)的定义域为[2,3],在实际问题中表示即为“x2+2”这个整体所在的范围.而又结合定义域的概念表示是对应自变量的取值范围,那么针对f(g(x))中的自变量,就能化成求解2 6x2+2 6 3的二次不等式,从而求解出其对应复合函数的定义域[−1,1].

针对(2)中具体函数,与抽象复合函数的差异在于给出了具体表达式,其形式也是我们常见的f(g(m(x)))的套用复合形式,这类问题我们需考虑的即有三点:根式限定条件,指数限定条件,二次函数限定条件.综合考虑,由于指数函数与二次函数对此复合函数的限定并没有表现出大的影响.主要的限定在于根式限定,由此可得,2x2+2ax−a−1>0,进一步可得出2x2+2ax−a>1,结合底数大于1的指数函数的性质特点可知:由2x2+2ax−a>20可得x2+2ax−a>0,即最终转化为一元二次不等式的问题,即该题目等价地转化为∀x∈R,x2+2ax−a>0,此时,利用二次不等式与二次函数的性质特点可得出满足不等式成立即对应一元二次方程x2+2ax−a=0至多有一个实根(两个相同的实根),即∆=4a2+4a6 0,从而求解出a的取值范围为−1 6a6 0.

(二)复合函数与解析式

解析式,是将函数三要素联系在一起的重要表现形式,和求定义域分类似的定义复合函数的解析式而言,在中学数学教学过程中,注重给学生强调,在解决相关复合函数解析式时的数学思想,简单地来讲,同求定义域相同,这一部分也是要注意“局部与整体”的转换,从而会出现常见的两种解决方式——换元法和代入法.

1.典型例题

(1)已知函数f(x)满足,f(x)=8x2−2x−1,则

(2)若函数f(x)满足f(3x+2)=9x−8,则f(x)=___.

2.类型分析与教学归纳

分析针对(1)中问题给出条件,我们知道f(x)=8x2−2x−1在为已知条件下,给定的问题中的整体地位相当于原有条件中x的地位,因此,解决此问题,我们应用的即为直接代入法,将整体代入,原题设条件f(x)的解析式中,那么从而求解出对应的的解析式,即:

教学归纳在教学过程中,复合函数解析式的讲解大体上与定义域的讲解方式相同,基本上涉及的思想就是着重强调的“整体与局部”的分析角度来对一次解决相关问题,其次在解析式这部分教学中,我们要注重学生对函数的有关基本概念的掌握情况及换元法的活学活用,引导学生理解函数本质上的应用,从而使复合函数在这部分基本问题解决上更易让学生理解.

二、复合函数与函数性质、零点(方程)问题

对于复合函数在基本函数三要素上的应用后,我们过行了函数有关性质上的教学,当然在复合函数的考查过程中,函数性质的基本考查及应用也是不能忽视的一大重点,特别地,在函数性质中,我们着重强调了单调性,奇偶性及周期性这三个大点,因此在复合函数针对函数性质方面的考查也是这三类为核心考查方向.其次,除了性质外,图象与方程也是函数不可分割的一部分,针对中学数学教学过程中,我们一向注重数形结合的数学思想,使得在复合函数考查过程中利用方程(零点)或是图像考查这一思想也成为了一大热点.

(一)复合函数与函数性质

函数性质,是研究函数的重要组成部分之一,灵活的利用函数的性质特点,可以很好地将函数分析透彻,在中学数学教学内容中,单调性、奇偶性、周期性可谓函数性质的“三大江山”,因此,在复合函数针对函数性质方面的考查,这三大性质即为考查的重点方向.

1.典型例题

(1)若函数y=loga(x2−ax+3)在区间(−∞,1]上为减函数,则a的取值范围;

2.类型分析与教学归纳

教学归纳根据上述针对(1)(2)(3)这三个问题的分析,这三类问题都具体体现我们中学数学对单调性、奇偶性及周期性在复合函数中出现的考查形式,在我们教学过程中,将这三类函数基本性质引导学生理解后,在复合函数部分讲解有关问题时,我们要注意引导学生针对这三类性质在复合函数中出现的特点进行观察与分析,诸如在涉及单调性考查时,往往以f(g(x))形式出现居多,其次在分析单调区间时,我们需要构建桥梁,将原本的复合形式,分解成为两个初等基本函数,联系着分析;涉及奇偶性,我们要让学生学会利用在学习基本概念性质时所掌握的判断方法来对给出的复合函数奇,构建出有效的条件限定,其次,利用已知的其它条件,继续分析,学会进行进一步的处理;涉及周期性,我们要让学生通过周期性中基本的f(x)=f(x+T)的本质性原则,分析有关条件中如何处理后可以得到有效的结论,从而使学生通过这些有效的分析方式,更快的解决有关复合函数针对函数性质性问题.

(二)复合函数与零点(方程)

函数零点一直以来是考查函数知识一大热门话题,它的出现既体现了函数本质性问题,又体现了数形结合的思想,在代数学的角度上,零点问题就是我们常说的方程问题,在几何学角度上来说,就是函数图象的交点问题,其中,在交点问题中,保持原有函数形式不改变即为第一类与坐标轴(x轴)的交点问题;若可将原形式转化在为初等函数相关变形等式即为函数图像的交点问题.

1.典型例题

(1)(零点取值)已知f(x)=4x−3×2x+1+8的零点为____.

2.类型分析与教学归纳

分析针对(1)中,以题目条件中可以看出,这是一个指数函数形式的复合,在解决这一问题的时候,从题目而言最直接的就是去解方程,然而,我们在处理方程之前,要将原有形式进行变形,已知f(x)=4x−3×2x+1+8,其中有y=4x和y=2x两个指数函数,但是仔细观察可知:y=4x=(2x)2,那么,原式变形为f(x)=(2x)2−6×2x+8;这时,我们去求解零点,即转化成为了一个关于2x的一元二次方程的问题,从而零点,即变为求解(2x)2−6×2x+8=0的根,为了减少计算中会出现错误,通常情况下,我们会采取换元的形式,令t=2x(t>0),则,转化为先求解t2−6t+8=0的一元二次方程,运用初中所学习的一元二次方程求解,则有x=1或x=2.

如图2.2.1-1所示:

教学归纳在教学过程中,复合函数与零点有关的问题,我们需要在一个较长的教学时间中进行,通过这3道典例中我们不难发现,在零点问题上,它涉及了我们前面定义域、解析式,即函数性质中的一些综合性的知识或数学思想方面的考查,严格来讲,与我们后续的不等式中也有着密切的联系,因此,在我们教学过程中,零点问题除了它本身的重要性外,在整个复合函数教学中有着承上启下的作用.作为衔接的内容,我们需要带领学生,更好的去学习,分析关于零点有关问题的处理方法,消化有关零点的求解,个数的求解,如何巧妙的应用将方程与图像相互转换的思维方式,做到更有效、更准确的解决这类问题是我们这部分数学的关键.

三、复合函数与导数、不等式问题

导数问题及不等式问题一直以来是整个高中数学知识、代数体系部分难点,也是热点之一,一般地在解答问题中频率是特别高的,利用导数来判断函数单调性,求出其对应极值问题,最值其是最为常见的考察方式,而最为突出的即,以复合函数的形式出现,因此,导数不单单是最为热门的知识点,也是综合前篇知识(单调性、最值问题)考察综合问题的重点方式之一;再者,不等式是由先前接触到一般地一元二次不等式(即一元一次不等式)到后来的基本不等式(由几类平均数间关系构成)再到现在的复合函数与不等式,或是将不等式有关问题结合数列、导数来考查.

(一)复合函数与不等式

不等式,在我们高中数学体系中占着十分重要的地位,与函数更是有着非常密切的联系,针对函数值域、定义域,最值或单调性的问题,不等式常常起着十分重要的作用.一般地,针对复合函数中不等式涉及最多的部分即为对参数的分类讨论,其次在前篇的函数与方程的思想中加以应用.

1.典型例题

(1)(复合函数与方程、参数范围)若函数y=x2−2x+log(2xa2−a)有两个零点,且一正、一负,则实数a的取值范围;

(2)(复合函数与基本不等式、参数范围)函数f(x)=loga(x2+3)−1(a>01)在x<0部分的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为___.

2.类型分析与教学归纳

教学归纳通过上述的两类涉及不等式的复合函数问题,在讲授此节内容时,除了针对函数上的定义域、值域等内容上做以强调,其次,基本不等式的内容也要注意强调.在教学过程中,应用基本不等式的复合函数问题,我们需要按特点分类归纳的形式来引导学生.提醒学生要注意处理方式、方法,原因在于一般情况下可能会有关函数变形结合因式分解来处理问题,毕竟考察有关不等式的内容在结合函数之后,综合性是函数不等式较为突出的特点.

(二)复合函数与导数问题

导数,是解决较为复杂函数单调性、极值问题、最值问题的重要工具,也是高中数学与大学高等数学知识联系的关键点,通过极限对应了导数的概念,利用导数的性质,我们也更好的研究了函数,因此,对于复合函数性质的分析与研究利用导数也是最佳的方式,针对求解曲线切线方程单调性可是十分便捷的工具.

1.典型例题

①当k6 0时,求函数的单调区间;

②若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.

2.类型分析与教学归纳

教学归纳通过上述的两个例题我们发现,在复合函数部分出现与导数有关的问题,共有的特点是综合性强,其次对不等式有关的运算关系十分紧密,在此部分的教学过程中,首要的一点基本的导数概念、运算法则是一定要为学生分析并且讲解透彻.其次,基本函数导数公式要足够熟悉,针对对应的类型,要给予学生归纳,特别地,在讲解这些较为繁琐的复合函数形式时,更需要给学生强调方式,尽量减少在计算上的错误,另外一方面,极值与单调性应用、利用极值求解参数范围是复合函数综合类问题中必定考察的要点,在进行完复合函数导数部分的教学内容后,要提醒学生在涉及单调性有关问题时,除了原有学习的方式外,导数是可以直接去解决的.

四、结论

从基本的函数定义到函数三要素(定义域、值域、对应法则),再由函数基本性质(单调、奇偶、周期)到结合不等式的应用,这些基本要点与复合函数问题层层紧扣,从每一个小的函数知识点都可以在复合函数问题研究上体现出来, 在本篇论文中出现的问题和分析仅是对在中学阶段的实际应用和教学分析, 对于纯粹的复合函数更高层次上的研究还需更高角度的分析, 并且利用更完善、更严谨的函数分析学上的资源.