直线和圆的综合问题*—基于青果在线平台微课资源应用策略的研究

江苏省常州市第二中学(213003) 王强

1.教学背景

2017年12月7日,“青果在线”子课题高中数学微课资源的应用策略探究第十五期观摩活动在常州市第二中学如期举行.笔者开设的是一节高三数学复习课“直线和圆的综合问题”.我从一道典型例题入手,通过方法的对比让学生感受到利用“定”的东西来解题的简便性.紧接着让学生从数学史的角度进一步体会圆的定义中的“定”,其中就蕴含了我们今天研究问题的方法.然后通过青果在线平台的实时投放题目功能,利用手机直接将题目传到每一个学生的电脑终端上,教师选择比较好的学生的过程进行拍照,然后选择一名同学上台讲解自己的解题过程,师生共同点评,然后老师将微视频传给学生继续观看,看懂了完成对应的变式训练.整节课共三大类型,即化动点为定点、化动长为定长,化动位置为定位置,化动轨迹为定轨迹.最后教师进行课堂小结,并留两道思考题给学生思考,做好后看对应的微视频的讲解.

高中尤其是高三的复习课该怎么样上更有效果,学生听了一遍听不懂怎么办,怎样使提优补差工作更高效,怎样将信息技术合理地利用于高三的复习课,鉴于一种尝试或挑战,我申报了这次青果在线子课题的研究课.考虑到有很多小学初中的老师,所以选定直线和圆的问题作为开课的主题.主题定好后,就是想怎么利用信息技术,首先还要感谢青果在线平台的技术人员,给我单独讲了如何利用这个平台备课和展示.弄明白之后,我要做的两样主要事情是设计好教学的主要流程和提前录制好课上观看的微视频.第一环节设计教学流程,我选定了三个主要环节,每一个环节一道例题一道变式,同时为了及时统计学生的正确率,需要将填空题的形式改写成选择题的形式,然后借助备课大师上传到云端.第二环节对于每一道题目提前录制好相应的微视频,以便上课时调用,录屏软件选的是希沃剪辑师软件.同时还了解了青果在线平台的一些主要应用的方法,如怎样截屏投送题目,怎样拍照上传答案,以及一些辅助应用的使用方法,如表扬,摇号等活跃课堂气氛的方式.为了增强化动为定的过程的直观展示,除了PPT课件之外,还制作了几何画板的动态课件.经过不断的磨课,实际课堂效果令人满意.

2.教学过程

环节一:方法引入

(先前组织者)引例(2016常州二模)在平面直角坐标系xOy中,已知过原点O的动直线l与圆C:x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A,B,若A恰为线段OB的中点,则圆心C到直线l的距离为____.

教师借助青果平台的拍照上传功能,投影呈现学生的解答并让学生自己对比哪个解法更简便.

设计意图这道引例是学生课前完成的,通过两种方法的对比让学生感觉到抓住圆中一些确定的量如定点定长解题可以给计算带来很多简便,产生研究本节课的必要性.

(PPT投影呈现)问题:圆的定义是什么?

学生:圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.

(PPT投影呈现)数学史:两千多年前我国的墨子给圆下了一个定义:圆,一中同长也.意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年.

环节二:方法感悟

方法一:化动点为定点、化动长为定长

例1由直线y=x+1上的一点向圆(x−3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为( ).

由于青果在线平台只支持选择题这种格式的测试题,并且在选项设置时考虑到了学生的易错点,所以以选择题的形式呈现.在之后的实时数据分析中,也可以从学生不同的选项中发掘错因,更有针对性.从平台反馈的数据来看,这道题的正确率大概在百分之八十五左右.

请做对的同学甲借助平板拍照上传自己的过程,并上台展示.学生讲解完备后,老师进行点评,将切线长PQ的最小值问题转化成PC的最小值,就是将动点Q转化成定点C,从而突破了问题的难点,求得答案选A.然后,教师借助青果在线平台,将本题的微视频上传到学生的平板上,没听懂的同学借助微视频,带着自备的耳机,再听一遍老师的讲解.已经会了的同学做下面的变式训练.

例1变式已知圆C:(x+2)2+y2=4,两条相互垂直的直线l1,l2都过点A(−1,0).l1交圆C于E,F两点,l2交圆C于G,H两点,则四边形EGFH面积的最大值为( ).

等所有同学都不看微视频了,教师将题目借助青果在线平台的推送功能,发送给学生.学生做好后,点击相应的选项,学生选项的正确率会在投影上实时变化.教师此时可以关注还没上传学生的学习障碍,给予必要的指导.课堂上有些学生可能不会做,没有提交答案,教师看绝大部分同学都交了,就可以关闭答题系统,然后评价答题的正确率.同时,教师利用刚刚在巡视过程中,对比较好的解答要及时拍照,评价完正确率后投影好的做法,并请对应做法的同学上台展示思考的过程.教师进行及时点评,这道题主要是把EF,GH的长度问题分别转化成CM,CN的长度问题,其中C是定点圆心,然后抓住为定长,以此为突破口求出了面积的最大值,答案选B.最后教师对这类问题进行小结,并在黑板上进行板书方法一:化动点为顶点,化动长为定长,并推送微视频给大家,供还没听懂的同学再看再听一遍.

设计意图新课程提倡教师为主导﹑学生为主体的教学理念,鼓励学生自主探究﹑合作交流.课堂上我们要留足学生思考的时间,并鼓励学生上台展示自己的思维过程.教师在巡视的过程中,对学困生要及时指导.微视频的使用可以提供给让没听懂的学生,反复看老师对这道题的讲解,可快看自己想要看的地方,没听懂也可以倒回去再看一遍,真正落实了因材施教.

方法二:化动位置为定位置

例2在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2−8x+15=0,若直线y=kx−2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( ).

教师借助青果在线平台的推送功能,将题目传送到学生的平板上.学生作答完毕后,从平台反馈的数据来看,这道题的正确率大概在百分之五十左右.对学生来说,有一定难度,此时需要老师来进行讲解分析.为了增强直观性,教师课前制作了这道题的几何画板课件,并在课堂上像学生展示.这边需要注意的问题是,青果在线平台和几何画板是无法兼容的,需要将青果平台最小化后,打开几何画板,进行使用.几何画板中主要的两幅图如下:

图1

图2

通过几何画板的动态展示,学生能更好的理解这道题的两个定位置,一个是两个圆的圆心连线和直线垂直的位置,另一个是两圆外切的特殊位置,答案选C.同时,教师把做好的微视频推送给学生,没听懂的接着听微视频,已经会的先在学案上思考例2的变式.

例2变式在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=9,直线l:y=kx+3与圆C相交于A,B两点,M为弦AB上一动点,以M为圆心,2为半径的圆与圆C总有公共点,则实数k的取值范围为( ).

教师借助青果在线平台的推送功能,将题目传送到学生的平板上.学生作答完毕后,从平台反馈的数据中,让做对的同学把解题的过程拍照上传,教师选择一人上台展示自己的解题过程.紧接着,教师通过几何画板的动态展示,加强学生对这道题的印象.几何画板中主要的两幅图如下:

图3

图4

教师进行点评,这道题的关键在于先确定两圆圆心连线和直线垂直的位置,可以形象地说此时两圆最“近”,再确定两圆内切这一特殊位置,从而解决问题,答案选C.最后,和学生一起小结方法,在黑板上板书方法二:化动位置为定位置.同时,推送微视频供学生观看学习,已经听懂的同学接着思考下面的问题.

设计意图新课程提倡充分发挥信息技术在教学中的应用,数学中的一些运动过程靠说教效果不大,学生很难直观想象,借助数学上的几何画板软件可以突破这一难点.在一节课中,多种技术的恰当使用,也正体现了我们不能为了技术而技术,要让技术真的给教学带来方便和高效.微视频在教师讲解下推送,可以提供学生反复看的机会,让学生主动的学习,主动建构知识.

方法三:化动轨迹为定轨迹

例3在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(4,0).若直线x−y+m=0上存在点P使得,则实数m的取值范围为( ).

教师借助青果在线平台的推送功能,将题目传送到学生的平板上.从平台反馈的数据来看,这道题的正确率大概在百分之九十左右,正确率较高,反应了学生对阿波罗尼斯圆这类问题已经很熟悉了.此时,已经到了课的后半部分,为了活跃现场的气氛,借助青果在线平台提供的摇号功能,随机摇号请对应学号的同学起来回答问题,同时对回答的比较好的给予掌声(平台提供的).教师进行及时的点评,这道题的关键是由求出动点P的轨迹,轨迹是个定圆方程,然后问题可以转化成直接和圆有公共点的问题,问题迎刃而解,答案选D.最后,和学生一起小结方法,在黑板上板书方法三:化动轨迹为定轨迹.此处这道题正确率较高,可以不推送微视频,对做错的单独辅导,留时间给大部分同学思考例3变式.紧接着让学生借助例3的方法完成例3变式,教师依然借助青果在线平台的推送功能,将题目传送到学生的平板上.

例3变式在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x−a)2+(y−a+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足MA2+MO2=10,则实数a的取值范围是( ).

A.[0,3]

B.(−∞,−3]∪[0,+∞)

C.(−∞,0]∪[3,+∞)

D.[−3,0]

从平台反馈的数据来看,这道题的正确率大概在百分之八十五左右,正确率也较高,答案选A,反应了学生对定轨迹这类问题已经很熟悉了.教师请一个同学拍照,将自己的解答过程上传到平台上,然后上台展示.最后教师可以组织大家自己以小组为单位,编一道类似的题,让组内其他同学解,然后每组把题目和解答拍照上传,师生一起点评.

设计意图考虑到保证青果在线平台的稳定性,同时也考虑到学生对青果在线平台的熟悉度,课堂上的三大主要探究环节的形式基本一样,到例3时学生已经基本熟悉了如何选择选项提交答案,如何拍照上传过程,如何收看微视频.同时加入了一些互动环节,让学生自己编题,增强学生的参与度,真正落实以学生为主体.

最后根据课堂时间,进行课堂小结.解题“中巧说”:张景中院士说练武功的上层境界是“无招胜有招”.但武功仍要从一招一式入门.解题也是如此,这种“无招胜有招”的境界,就是“大巧”吧大巧法无定法,小巧一题一法.中巧呢,则希望用一个方法即化动为定解出一类题目即直线和圆的综合问题.然后借助青果在线平台的摇号功能,随机选择两个同学谈谈本节课的收获.最后借助青果在线平台提供学生课后继续学习的材料.材料是两道综合题,学生做完提交后看对应的微视频讲解.

两道课后思考题如下:

思考题1已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x−a)2+(y−a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60◦,则实数a的取值范围为( ).

答案:C.

思考题2已知A,B是圆C1:x2+y2=1上的动点,,P是圆C2:(x−3)2+(y−4)2=1上的动点,则的取值范围为( ).

答案:B.

设计意图小结是一个再反思再提升的过程,能促进学生原认知的发展.借助青果在线平台进行课后学习的拓展,也是传统课堂不能实现的,充分发挥微视频资源的效益最大化.而且老师可以借助青果在线平台统计大家的正确率,及时了解教学效果,可谓教学相长,何乐而不为.

3.课后反思

3.1 听课点评

听课的老师都觉得本节课内容充实,针对性强,能真正解决学生的问题.高中的教学,尤其是高三的习题课,在利用数字化平台进行教学的时候,尤其要注意的是,如何让数字化平台更好地为学生服务,而不是仅仅停留在利用平台进行错题统计的浅层次上.这节课给我们做了很好的示范.

最后,听课的专家刘霞老师做了精彩的点评.她指出我们的教学要重视问题式教学,教师更要关注答案的多样性,而不是轻易否定学生.教师更应该具有培养学生关键能力的意识.青果在线学习平台是通过集中优秀教师、优质教育资源建立起来的在线学习课程资源体系.数字化学习环境下的教学实践活动的主要阵地集中在幼儿园、小学和初中、大学,常州市第二中学作为高中的试点学校,非常难得,也给我们做了很好的示范.我们教育的目的是为了每一个学生都能在原有的基础上有所提高,而不是“为了技术而技术”.青果在线的平台,给我们提供了一个更广阔的空间,也可以指引我们今后研究的方向:怎样更好地为学生服务.

3.2 自我反思

笔者觉得课堂上比较满意的地方如下:

1.教学思路清晰,主题突出.三个例题三个变式三个方法贯穿这节课,同时始终围绕“化动为定”这个主题启发引导学生思考.

2.借助于青果在线平台,每道例题解决之后,可以对配套的变式练习实时监测,并能及时统计数据,准确把握课堂节奏,及时调整进度.同时,借助平台推送微视频,改变以往课堂上学生只能听老师讲一遍的情况,学生可以反复观看视频.而且,本节课在例2和变式中还制作了几何画板课件,课后点评时有些其他科目的老师提到,看了几何画板动态演示后,自己都学会了.可见几何画板课件动画效果好,能有力的辅助教学,给学生生动直观的印象,是老师教学的好帮手.

3.体现了“以学生为主体,教师为主导”的新课标理念.每一道题目我都是给了充分的时间让学生去思考探究,还请了学生到黑板讲解.最后还有学生互相出题这个环节,充分发挥了学生的主观能动性.同时教师在学生练习或看微视频时,给予后进生更多的关注和指导,也一定程度上提升了课堂的教学效果.新课标提出,数学教育要帮助学生提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界,让学生自己讲解自己的思路方法,让学生互相点评,让学生参与课堂小结是提升学生数学素养的有效方法.

笔者觉得课堂上还有待提高的地方如下:

1.本节课有前松后紧的感觉,因为让学生自己讲会有说不清楚的情况,而且例2的微视频传送过程中出现了掉号的情况,又重新登录了一次账号.再加上学生探究解题,也需预留充分的时间给他们,导致在例3的互相编题环节显得仓促.

2.整节课与青果在线平台的融合还是比较匮乏的.主要用了传送题目和视频以及学生拍照上传或老师自己拍照上传.考虑到如果让学生集体上传,网络跟不上会集体掉线的情况,没有选择这个集体上传的方案.后面老师听课点评的时候,有老师提出这个局域网还是可以的,如果能集中展示大家的做法,可以将好的和做错的集中对比,效果会更好.其他平台自带的效果方面主要用了摇号和点赞两个功能,其他还有很多功能还需继续学习并不断尝试,既能活跃课堂的气氛,也能增强学生的课堂参与度.

3.一点遗憾是青果在线平台的检测功能只支持选择题,而不支持解答题.而我们江苏高考08年以来就没有选择题,这次为了开课我把填空题改成了选择题,如果青果在线平台能支持更多类型,那我想会有更多的老师会积极参与到平台的使用中,借助青果在线平台提升自己的信息技术能力,体验技术带给我们的便利.