谈初三数学最短路线专题复习课的几点体会

广东省佛山市南海区丹灶镇初级中学(528216) 罗少华

复习课是初三教学中的一个重要组成部分,第一轮基础知识复习相对比较容易,第二轮是专题复习,它起着承上启下的重要作用.此轮复习围绕初中数学最重要的一些知识点开展,特别围绕中考热点,将学过的知识纵向串联起来,同时将相关知识有机地综合起来,融汇在一起,在学生脑海里编辑一张涵盖面更宽广的系统性的知识网络.让学生能将知识融会贯通,运用已学过的数学知识解决各种可能出现的问题或者中考中从未见过的新题目.所以,此轮复习效果的好坏,将直接影响到学生的中考成绩的好坏.

进入第二轮专题复习,怎样避免缺乏系统性和针对性,以确保复习效率?在备考时必须认真研究,制定具体计划,安排每节课的内容,做好统筹,精心策划好每一节课的内容,课堂把涉及全学段相关知识进行梳理;呈现典型例题有针对性地教学,一题多变、一题多解触类旁通概括知识,提炼总结解题策略建立数学模型模型;之后通过题型训练进行巩固.力求每节课高密度有质量,每个知识落实过关.专题复习不仅仅是题型训练,更是解题方法的再现与总结及教学思想方法的提炼,使知识题型、方法、思想等各方面的系统化、网络化的过程.文章以数学“最短路线问题”教学为例,谈谈专题复习课的几点体会.

一、基于知识生长,夯实概念

新课标指出:“数学知识的教学,要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’,把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中,注重知识的结构和体系,处理好局部知识与整体知识的关系,引导学生感受数学的整体性.”比如“最短路线问题”为例,基本知识点是:两点之间,线段最短及垂线段最短.在确定教学内容时,对于素材选取、问题设计和编排等方面都围绕这个知识点开展,这些实质性联系展示了数学知识点间的关联性、整体性和数学方法的灵活多样性.

问题情境1:如图1,小河l旁有A村和B村,要在河边将以水泵站,才能使A村到B村的路程最近?

问题情境2:如图2,小明的家P在街道OA和OB之间,小明从出发到两条街买东西,请帮他设计最短路线?

图1

图2

教材从来都是教学的根本,从教材引申情境或题目,学生更易理解掌握.情境一是北师大版七年级下册的课本题,有关轴对称的知识,学生极容易解决.情境二是从教材中的题目改编而成的,都是“两点之间,线段最短”这一根本知识“生长”出来的.这个基本知识是本节课的主线,它将贯穿整节课,并由此衍生一系列知识,以内隐的方式融于数学知识体系,推动学生迈向思维深度和广度.

二、筛选典型例题,提炼方法

典型例题是传授知识、巩固知识、提高思维水平、培养学生创新意识的载体,是教学中精品,具有典型性与较强的示范性.规律的揭示、技能的训练、智能的培养,往往通过典型例题的教学来实现.因此,在课堂上抓好教学是培养学生良好思维能力的契机.

由于复习时间紧任务重,筛选例题可在科组内集体备课研究进行,例题特别注重以下几点:1、例题要有目的性、典型性、规律性,以期达到以点带面,会一题通则会一类的功效;2、许多例题是以教材内容为背景,结合近几年及各地中考试题中优秀题型,经改编、组合、引申等设计而得的.3、例题具有启发性、灵活性、综合性,要能一题多变,起到举一反三的作用的.4、例题要体现新课标精神,在立意上适当出新.好的例题对学生学习是一种有效引领与智慧启迪.

图3

(1)求K的值;

(2)求点C的坐标;

(3)在y轴上确定一点M,使点M到C,D两点距离之和d=MC+MD最小,求点M的坐标.

(一)题目呈现

本题第(3)问求距离之和最小,也可以理解成在y轴上存在一动点M,使得MC+MD最小,所以本题可以用几何画板演示,通过几何画板数据显示MC+MD的值变化,让学生直观观察到点M的位置,更容易理解题意,获得感知,记住模型.实际上,数学知识不管是“被动灌输”还是“主动建构”最终还是需要识记,心理学表明识记分为机械识记与意义识记,意义识记比机械识记更稳固更长久,而且更容易适应变化了的应用情境.

(二)题目分析

本题以函数为知识背景的探索学习型试题目,将反比例函数与一次函数有效融合,介入线段比值,确定反比例的解析式,探究角色闪亮登场,这是命题者设计本题的匠心所在,正是这条纽带,将第(1)问巧妙地递进第(2)问中求点C的坐标和第(3)问求最短距离,正是这个比值成为解题的切入口,使得第(3)问代数求值与几何对称实现了“有机联手”,将数形结合的思想方法因此而凸显出来.

(三)提炼方法

对于第(3)问求最小值,可能有些学生会根据“最近发展区”联想到二次函数,通过观察比对,求“线段最小值”可以利用“轴对称变换”模型转化为根本知识点:两点之间,线段最短及垂线段最短.归纳得出线段和(差)最值问题一般解决途径(1)利用“轴对称变换”模型(两点之间,线段最短);(2)利用“垂线段最短”;(3)利用“三点共线”,从而使学生在知识、方法、策略层面获得全面体悟与收获.

(四)学力提升

专题复习课,在重视知识、方法梳理的同时,更应重视揭示数学本质的过程,在提炼策略与思想方法的过程中提升学生的学力,这是由教师引领之下的自主感悟和提升过程,是个耗时过程.在提炼过程中,教师要预留足够的时间,让学生经历“体悟—-感悟—-顿悟—-彻悟”的过程,变被理解、被提升为自发的、主动的理解和提升.

三、积累经验,开展变式训练

“就题论题”式的教学很难达到提高学生解题能力、激活学生思维能力的目的,发掘例题的深度和广度,开展例题的变式引申和拓展,以实现学生解决问题经验的迁移和运用,将问题拓展推广成为一般性问题,实现“让例题充分发挥示范性与辐射的效应”,使学生完成从知识到能力的转化.

(一)结论变式

第(3)问“在y轴上确定一点M”改为“在坐标轴上确定一点M”.此时,就要分类讨论,第一种情况:当点M在y轴上;第二种情况:当点M在x轴上.然后进行综述.

(二)条件变式

如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(0)的对称轴为直线x=−1,且抛物线上A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.

图4

(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的表达式;

(2)在抛物线的对称轴直线x=−1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;

典型例题题设是反比例函数与一次函数,此题条件改为二次例函数与一次函数,第(1)问求表达式有所加深,解答过程也有点复杂,第(2)问结合本节课根本知识点很快就能完成.

四、拓展思维,纵横迁移

学生已学过的知识、技能、方法对新知识会产生一种影响和作用,在教育心理学上称之为“学习的迁移”,在学习新知识时,由感知诱发产生联想,而回忆起旧知识,通过思维活动,再将与新知识相类似的旧知识转移到新知识中,这过程对学生掌握知识、学会方法和提高能力有着极其重要的意义.利用这个规律专题课复习课有必要对例题进行一些适当的变换,灵活、多元化地呈现,或围绕例题出些发散新思维的素材,拓展学生思维.

(一)横向延伸

如图5,已知抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),点C的坐标是(0,3).

图5

(1)求抛物线的解析式;

(2)直接写出当y<3时,x的取值范围;

(3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当|PA−PC|的值最大时,求点P的坐标.

此题第(3)问学生会类比“最短路线问题”来解决,然而此处略有差异.因此在学生解答受阻,教师不妨进行引导点拨,求“两线段和最小”与“两线段差最大”有所不同,前者利用“轴对称变换”模型(两点之间,线段最短)及“垂线段最短”,后者利用“三点共线”,求|PA−PC|的值最大,实际上就是当P、A、C三点共线时求AC的长.此题也可以用几何画板直观验证.这个过程中,教师要有意引导学生体会“转化思想”和“归纳法”在解决问题中发挥的作用.

题目的拓展变式,促使学生从不同角度、不同方位、不同层次审视、解决数学问题从而拓宽解题思路,培养了思维的广阔性和深刻性.

(二)纵向迁移

强化问题解决经验的积累方法之一就是迁移并进一步拓展变式,引导学生探索几何背景下的动点最值问题,体现基本知识的内涵向几何角度进一步延伸,引领学生体悟“几何问题代数化”的求解思路以及“化归思想”与“分类思想”的灵活运用.

1、“最短路线问题”在三角形中的运用

如图6,在等腰三角形ABC中,∠ABC=120◦,P是底边AC上一个动点,M、N是分别是AB、BC的中点,若PM+PN的最小值为2,则AC的长是___;

图6

2、“最短路线问题”在四边形中的运用

如图7,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60◦,点E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点则PE+PB的最小值为___;

图7

3、“最短路线问题”在圆中的运用

如图8,AB是⊙O的直径,AB=2,OC是⊙O的半径,0C⊥AB,点D在弧AC上,弧AD=2弧CD,点P是半径OC上的一个动点,则AP+PD的最小值为___;

图8

由“最短路线问题”延伸出许多综合性题目,从而引导学生广开思路、发散思维.以上题目从问题渗透的数学思想和能力要求看,可以通过类比解决.对学生探索、猜想、转化、推理、论证等求解能力要求高,解答过程需要学生具备综合运用归纳、转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等核心数学思想和方法的能力.

五、模型应用,巩固提高

数学模型是用符号、函数关系将评价目标和内容系统规定下来,并把互相间的变化关系通过数学公式表达出来.数学问题的模型化能帮助我们独辟蹊径,见者简捷有效地解决一些实际问题,教学不失时机引导学生观察探索,在以已有的基础上建立知识结构框架模型,对提高学生综合分析问题解决问题的能力大有益处.

“最短路线问题”的几何模型建立为:AB是直线L同旁的两个定点,在直线L上确定点P,使得PA+PB的值最小.

图9

围绕师生归纳构建的模型,本课的巩固练习设计如下:

1、如图10,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90◦,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为____.

图10

图11

2、如图11,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点,连结BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称,连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值是___.

3、如图 12,⊙O的半径为 2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60◦,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值.

图12

图13

4、如图13,一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).

(1)求该函数的解析式;

(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标?最后,教师精选具有一定指向性的题目,让学生在类似的情境下模拟练习.这样的“练兵”目的让学生把知识内化成技能,教师既能了解学生掌握知识情况,又可以发现学生存在的问题,及时解决,进一步查漏补缺,快速纠错.这一环节让教师收集信息的同时,也为下一个专题如何更好地开展做铺垫.

总之,在复习阶段要进行适量的综合训练,以专题形式开展,把基础知识系统的复习与综合能力的训练有机结合起来,螺旋式推进,运用一题多解,注意各种方法的归纳总结,力求“解一题会一类”.通过复习,要达到让学生觉得初中数学内容屈指可数,让学生有一种书越读越薄的感觉.在讲题过程中,引导学生回忆与该题同类的习题,进行对比、分析解法,找到解这一类题的技巧和方法.学生知识储备越广阔,解题策略积淀越多,方法越灵活,越助力中考!