挖掘高考试题,增效高三教学—基于2018年高考理数18题的立体几何复习

广东省东莞实验中学(523120) 段伟

《普通高中数学课程标准》指出学科核心素养是育人价值的集中体现,是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.作为高中数学重点教学模块的立体几何可以重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养.立体几何中的翻折问题由于要发掘图形翻折前后的差异与联系,寻找定型定量,题型新颖,解法丰富,一直是立体几何教学和考查的热点.在2018年高考数学全国I卷理科试卷中,立体几何的解答题就是以翻折问题的形式展现.

一、一题多解固基础,多法比较建联系

例(2018年高考理科数学全国一卷18题)如图1,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.

图1

(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

证明(1)(略);

(2)解法1如图2,在平面PEF内,过点P作PH⊥EF于点H,连接DH,由(1)可得,PH⊥平面ABFD,所以,DH为DP在平面ABFD内的射影,∠PDH为DP与平面ABFD所成角.设正方形的边长为2,则DP=DC=2.因为BF//DE,BF⊥平面PEF,所以DE⊥PE,在Rt△PED中,DP=2,DE=1,则又因为PF=1,EF=2,所以PE2+PF2=EF2,所以PE⊥PF,在 Rt△PEF中,,所以,即,DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

图2

解法4如图3,在平面PEF内作PH⊥EF于点H,由(1)得,PH⊥平面ABFD,以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系H−xyz,由(1)得,DE⊥PE,又DP=2,DE=1,所以,又PF=1,EF=2,所以PE2+PF2=EF2,所以PE⊥PF,在Rt△PEF中,PH=,取n=(0,0,1)为平面ABFD的法向量,设DP与平面ABFD所成角为θ,则,即,DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

图3

解法5如图3,在平面PEF内作PH⊥EF于点H,由(1)得,PH⊥平面ABFD,以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系H−xyz,设正方形ABCCD的边长为2,EH=a,PH=b(a>0,b>0),则H(0,0,0),F(0,2−a,0),D(−1,−a,0),P(0,0,b),由题意得,即,1+a2+b2=4,(2−a)2+(−b)2=1,解得,,平面ABFD的法向量为,设DP与平面ABFD所成角为θ,则,即,DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

解法6如图4,以D为原点,为x轴正方向,为y轴正方向,过点D作垂直于平面ABFD的直线为z轴建立空间直角坐标系D−xyz,如图所示,设正方形ABCCD的边长为2,由(1),可设P(1,a,b)(a,b>0),则D(0,0,0),F(1,2,0),所以,由题意得,CF=1,即,1+a2+b2=4,(2−a)2+(−b)2=1,解得,,取n=(0,0,1)为平面ABFD的法向量,设DP与平面ABFD所成角为θ,则,即,DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

图4

知识之间是有联系的.通过一题多解,不但可以建立解法之间的联系,优化方法,洞察问题的深层结构,而且多种解法的呈现也可以满足不同学生对同一问题的不同认知.解法1、2、3是综合法,解法 4、5、6是向量法.在此题的解答中,综合法的关键是利用定义找到所求线面角,向量法的关键在于恰当建立坐标系,但是两种方法的难点都在于与P点相关的长度或者坐标的确定.解法1是由因导果的综合法的完整体现,需要比较强的数据分析能力以确定△PEF是直角三角形,从而突破PH长度的求解障碍;解法2利用方程求解PH的长度;解法3利用等体积法求解PH.解法1、2都是将立体几何问题降维后在三角形中解决的,解法3利用了等体积法,突出了避作而求的推理方式.解法4是解法1的向量法体现;解法5、6是解法2的向量法体现,不同之处在于建系的方式不同.通过以上方法的比较不难发现,综合法需要添加辅助线才能把相关几何元素联系起来,而这常常成为制约学生分析问题的障碍.向量法已经利用直线的方向向量和平面的法向量将线面角的关系模型化,将线面角的求解方法公式化,避免了寻找线面角这个难点.这体现出向量法在立体几何问题中定量分析的优势,也可以说,向量法是立体几何中定量分析的更加优化的方法.所以,对于几何中严密的论证和计算,一方面我们要提高学生利用综合法解决问题的能力,进一步发展和完善学生的推理能力;另一方面要强化向量法,利用坐标中向量之间的性质解决问题.

二、收集错误显问题,反思教法促教学

对于第2问的解答,学生多采用向量法,而在平常的教学过程中,对于角度、距离类定量分析的问题,学生也偏好向量法,这与立体几何改革的基本方向一致.当然,不论是综合法还是向量法,能够准确运用并解决问题就是好方法,然而,对于这道看似并不困难的问题,答卷情况却不容乐观,出现比较多的知识方法错误有以下三点:

(1)综合法中找不到线面角;

(2)建系正确,但点P的坐标错误;

错误(1)的根源主要在于定义的理解不透彻,想象及推理能力欠缺,导致在具体的图形中,不能熟练洞察线面关系以确定线面角;错误(2)的原因在于对于题目中与点P相关的数量关系,不能准确的挖掘翻译并建立与问题的联系;错误(3)的源由在于学生平常的学习只是机械式的记忆公式,没有建立图形与数量、公式的联系,更没有真正理解线面角与向量角的区别和联系.

针对以上3个常见错误,在立体几何的教学中,应当注重以下策略和方法上的调整:

1.理清基本线索

从数学的内在逻辑上看,立体几何的基本线索是①从定性到定量②从综合法到向量法,教材中立体几何的内容安排设置也是以此为据的.那么,在立体几何的教学,特别是高三复习中,也应当遵从这条线索,让学生对立体几何认知符合规律;在每个立体几何问题的分析过程中,也应当先理清点线面关系,再建立数量或向量关系,让学生对每个问题的理解循序渐进.

2.强调基本图形

亦如平面几何中强调三角形,立体几何中也有基本图形,例如长方形,四面体,这些基本图形随手可得,结构简单,但是却蕴含了所有的点、线、面关系.在立体几何的教学中,都应当强调在基本图形中理解基本几何元素关系,理解基本定理,理解基本公式方法,那么在复杂的图形中,学生才可以举一反三,触类旁通.

3.归纳基本图例

图5

图6

三、一题多变提能力,渗透素养增效力

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学,立体几何尤为如此.所以在立体几何的教学中,不论是定性分析还是定量分析,不管是综合法还是向量法,都要紧抓图形分析数据,而且可以发挥立体几何中数量与图形紧密联系的特点,设置连续而有逻辑关联的变式问题,并在这些问题的解决过程中,进一步强化训练推理论证的技能.

例题变式1-4如图1,四边形ABCD为正方形,边长为2,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.

变式1求点E到平面DPF的距离d.

变式2求二面角P−DF−E的余弦值.

思路分析在图3中求得平面DPF的法向量,平面DEF的法向量n=(0,0,1),利用空间向量二面角余弦值的计算公式得到二面角P−DF−E的余弦值;也可以利用二面角定义,如图7,过点H作DF的垂线,垂足为Q,可证DF⊥平面PQH,那么∠PQH即为二面角P−DF−E的平面角.在Rt△PHQ中,即为所求.

图7

变式3求三棱锥P−DEF的外接球半径R.

变式4求三棱锥P−DEF的内接球半径r.

思路分析由于S△DEF=S△DPF=1,,可以利用等体积法,得到(S△DEF+S△DPF+S△DEP+S△PEF)=VP−DEF,解得.

设计意图例题变式1-4在高考原题的基础上展开,意在通过学生熟悉的题干和图形对距离、二面角、内切球和外接球等常规概念、问题及涉及的方法进行复习巩固.数学核心素养要求学生能够在熟悉的情境中建立数量与图形的联系并进行抽象和表达论证.在平常的立体几何教学中,可以启发学生在同一个立体几何背景中寻找不同的点、线、面之间的关系并进行自主变式教学,多角度的理解图形并认知问题.

例题变式5-10如图1,四边形ABCD为正方形,边长为2,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,

变式5当平面DPF⊥平面DEF时,求直线PE和平面DEF所成角的正弦值.

图8

变式6当平面DPF⊥平面DEF时,求三棱锥P−DEF的外接球体积;并探究,当△DPF绕DF翻折的过程中,三棱锥P−DEF的外接球体积有没有变化?

图9

设计意图变式5、6将高考原题中的条件“PF⊥BF”换为“平面DPF⊥平面DEF”,变式5的问题和原题相同,变式6与变式4的问题类似但有所推广.两个问题意在通过与原问题关联或者相似的情景,帮助学生能够理解和建构相关数学知识之间的联系,从而进一步理解数学概念,辨析逻辑关系,提炼数学方法.

变式7当△DPF绕DF翻折的过程中,是否存在某个位置使得DE⊥PF.

思路分析如果DE⊥PF,又DE⊥EF,PF∩EF=F,那么DE⊥平面PEF,所以DE⊥PE,而PD>DE,所以以PD为斜边的直角三角形是存在的.那么,当△DPF绕DF翻折的过程中,存在某个位置使得DE⊥PF.

变式8当△DPF绕DF翻折的过程中,是否存在某个位置使得DP⊥EF.

思路分析如果DP⊥EF,又DP⊥PF,PF∩EF=F,那么DP⊥平面PEF,所以DP⊥PE,而DP=DC>DE,所以不存在以DE为斜边的直角三角形.那么,当△DPF绕DF翻折的过程中,DP与EF始终不垂直.

变式9当△DPF绕DF翻折的过程中,是否存在某个位置使得DF⊥PE.

思路分析如图10,在矩形DCEF中,过点C作CT⊥DF,垂足为T,过点E作ES⊥DF,垂足为S,因为DCCF,所以T与S不重合;如果DF⊥PE,又DF⊥PT,PE∩PT=P,那么DF⊥平面PET,所以DF⊥ET,这与T与S不重合矛盾,所以,当△DPF绕DF翻折的过程中,DF与PE始终不垂直.

图10

图11

设计意图变式7-9删除了高考原题中的条件“PF⊥BF”,那么图形就不是静态的图形,是在翻折变化的动态过程中设置问题,学生也只能在动态过程中思考三组异面直线的位置关系.3个题目都以推理论证能力培养为目标,在思考解答的过程中考察培养了举正例,举反例,综合分析,反证分析等能力.3个问题意在通过综合化的一般情境,理解数学的抽象结构和结论的一般性,期望学生能够对较为复杂的数学问题探索论证途经并用数学语言合理准确的进行表达.

变式10当△DPF绕DF翻折的过程中,三棱锥P−DEF的表面积和体积是否有最大值;如果有,求出最大值;如果没有,说明理由.

设计意图该问题依然在翻折过程中设置,属于开放探究性问题,变量的引入和问题的解决途经均具有偶然性和自主性,可以鼓励学生通过操作观察,形成猜想,证明结论.经历这样的探究过程,有利于培养学生发现问题,分类讨论,作图表达,推理论证的能力,在具体情境中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养,积累探究活动经验.

四、结语

由于高考题目不但依据课标,紧贴教材,有一般训练题目不可比拟的基础性、综合性、应用性和创新性;而且高考题目经过了全国学生的实践检验及老师的深入研讨,科学性强,解题思路明朗,解题书写规范,评分细则标准,所以高考真题既有利于全面覆盖,又有利于突出重点.在高三的教学中,教师如果能发挥高考真题的真优势,让真题的分析是真知灼见,让问题的诊断有真凭实据,让解法的优化能返璞归真,让教法的改善可去伪存真,那么,学生必定可以获取真才实学.