立足教材，全面构思，注重导向——命制一道中考模拟压轴题的心路历程

☉重庆市万盛经开区教师进修学校 犹广江

中考是义务教育阶段的终结性考试，重庆市中考数学试卷兼具“初中毕业生学业水平考试”和“高中招生考试”的功能.纵观重庆历年中考数学试卷，命题者在重视“四基”和核心素养的前提下，本着“稳中求变”的原则，试卷结构和考查重点具有相对稳定的风格.为了让一线教师的复习有一定方向，适度减轻师生复习的负担，根据《重庆市2018年初中毕业学业暨高中招生考试考试说明》，我区命制了相应的模拟试题.下面，笔者将其中压轴题的命制过程记录下来，与同行分享.

一、试题呈现

（1）求点A、B、C的坐标.

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的动点，点M为抛物线对称轴上的动点，MN⊥y轴，垂足为N，当△PBC的面积最大时，求PM＋MN＋BN的最小值.

（3）如图2，平移抛物线，使顶点D在射线AD上移动，点D、A平移后的对应点分别为D′、A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1，点A1恰好落在AC上，连接C1D′、C1A′，△A′C1D′能否为等腰三角形？若能，直接写出点D′的坐标；若不能，请说明理由.

图1

图2

二、命题过程

按重庆中考试题的传统风格，近年来压轴题均为二次函数与几何基本图形相结合，侧重考查学生的推理与探索能力的综合题，通常设置三小问，起点较低，难度逐步上升，有明显的层次性，充分体现了2011版新课标“不同的人在数学上得到不同的发展”的精神.考虑到第（1）问是基础，为后面两问提供必要而准确的条件，最初设想是确定二次函数的解析式，这样既可关注学生对基础知识的掌握程度，也能体现对二次函数重点知识的考查.但“根据不共线三点的坐标确定二次函数的解析式”在新课标中属选学内容，故需告知一个常数，根据两个点的坐标确定二次函数的解析式，只需解二元一次方程组即可得到解决.想到第（2）问需求直线的解析式，与此雷同，为避免考点重复，以覆盖更多知识点，决定先给出解析式，求出抛物线上关键点的坐标.

（1）求点A、B、D的坐标.

分析：可通过抛物线顶点坐标公式或利用配方法求得D点的坐标；令y=0后解一元二次方程求得点A、B的坐标，考查内容均为核心知识，系数也较简单，而且第（3）问中的△AOC也是一个“勾三股四弦五”的特殊直角三角形，便于学生后续思考.但通过计算发现，在第（3）问设计几何变换时，不管将抛物线沿x轴方向，还是y轴方向，抑或沿射线AD方向平移，计算均较为复杂，数据较大，只好重新思考，加以改动.由试算过程发现，第（3）问计算复杂的原因之一是△AOC旋转后，落点A1和C1的坐标关系不够明显，进一步想到如果∠CAO=60°，则点A1落在AC上时，A1C1∥x轴，点A1和C1的坐标关系显而易见，故将点A、C分别调整为（，0）、（0，3），进而函数（3）问中有的点的坐标计算数据仍然太大.为保持图形结构和设计思路不变，同时减小计算量，再次将点A、C分别调整为（-1，0）、（0，，进而函数解析式调整为了.但考虑到此时系数较复杂，故将函数解析式设计为顶点式，则学生不管是求顶点坐标还是解一元二次方程，均回避了复杂计算，降低了第（1）问的起点，由于顶点已在解析式中明确给出，求顶点坐标价值不大，故将求点D的坐标改为求点C的坐标.最终将总题干及第（1）问确定下来.

作为压轴题，起点低是为了让更多学生能动笔，不至于“望题生畏”，但同时要体现一定的区分度，让学有余力的学生有充分发挥的空间.故第（2）问设置了两个典型的最值问题相结合的综合问题.一个是利用二次函数的顶点求三角形面积的最值，另一个是利用轴对称求最短路径问题.考虑到双最值问题在近年重庆中考中已基本成为体现地域特色的传统题目，如果仅仅是单纯的“将军饮马”问题，学生会因应试训练而形成套路，难免有死记硬背之嫌，思维含量相对会降低，试题的评价功能和补漏作用相对弱化，故在设计试题时适当增大了难度，在“胡不归”问题和平移两个命题方向上作了一定的选择.考虑到“胡不归”问题要利用三角函数构造直角三角形，含有比例关系转换，难度相对较大，而平移涉及知识相对较少，且主要是线段的等量转换，相对容易一些，故最后确定为考查平移变换.于是，第（2）问确定下来.

分析：在第（2）问的解决中，求△PBC面积的最大值时，涉及用待定系数法求直线的解析式、三角形面积计算、二次函数最值确定等多个核心知识点，在此基础上求线段和的最小值时，由于MN为定长，故需先将点P向左平移距离|MN|，再构建“将军饮马”模型，利用勾股定理求出PM＋BN的最小值.这样设计，试图让学生经历一系列观察、猜想、探究和发现，并通过必要的计算和推理，考查学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，同时体现了对学生数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养的考查.

作为重庆中考数学试卷的最后一道试题，其层次性和区分度充分体现了重庆中考毕业和升学的双重功能.第（1）问绝大部分学生能动笔，重在学业水平考试，第（2）问设置了两个层次，求△PBC面积的最大值，重点考查中等以上学生的基本能力，求线段和的最值，对优秀学生的思维能力提出了较高要求.而作为压轴题的最后一问，其作用更多的是给特优生发挥的空间.故在设计动态几何的探究问题时，设计了三角形的旋转和抛物线的平移两个几何变换，同时，结合等腰三角形设计了点的存在性探索问题.

分析：在第（3）问中，△AOC的旋转考查特殊直角三角形及等边三角形的相关知识，而平移抛物线，则要求学生关注运动过程中的不变量，利用解析法表达线段长度，进而根据等腰三角形的定义列方程求出相应点的坐标，这一过程还考查学生分类讨论的数学思想方法.第（3）问的解决不仅对学生的思维能力和空间想象能力有较高要求，对运算能力的要求也较高.在第（1）问的设计时充分考虑问题间的延续性，精心设计数据，便于第（3）问的解决，同时考虑到整个试题的复杂程度及其在试卷中的定位，故设计为直接写出点D′的坐标，而无需写出解答过程.在平移的方向选择上，最初设想是沿坐标轴平移，点的坐标关系会明确一些，但经过反复试算比较，发现不管是沿x轴还是y轴平移，都存在计算复杂，且数据都较大的问题，而沿射线AD方向平移，计算量相对较小.至此，第（3）问也最终确定下来.

三、命题感悟

1.试题命制需全面构思，反复打磨

原创试题对命题者要求较高，平时需深入学习课标，理解教材，研究考试，熟悉经典题型，研讨经典解法，大量积累才会有源头活水；命题过程中的思考和探究，只有反复打磨，才能精益求精，才能在继承传统的同时又有新的突破.回顾此题的命制，从考点的选取，到数据的确定，无不经历了反复思量、仔细推敲的过程，既要考虑每一小问的评价定位，又要考虑各问之间的延续性.如第一问的设定，既要保证其基础性，又要充分考虑到第（2）问和第（3）问的解决，必须系统进行思考，故第（1）问确定了，此题便已成一半.

2.好的试题要有导向教学的作用

（1）立足教材.

本题的问题设计试图引导一线教师在教学和复习中要立足教材.第（1）问给出抛物线的顶点式方程，求其与坐标轴的交点坐标，难度小，容易入手，旨在让学生从熟悉的课本知识开始问题的解决；第（2）问中的双最值问题，把初三二次函数的最值用于求几何最值，与八年级的综合实践内容“将军饮马”合二为一，可谓“源于教材，而又高于教材”.

（2）把握中考方向.

中考命题具有考查学生知识与能力及教学导向双重功能.而作为中考模拟题，还有引导师生复习复习的作用，力争提高复习效率.笔者认真学习《重庆市2018年初中毕业学业暨高中招生考试考试说明》，深入钻研重庆历年中考试题，以二次函数和基本图形为载体，考查基本图形的性质及图形的运动变换等重要知识点，其考点的选择、试题的综合性，对教师把握压轴题的复习方向起到了很好的导向作用.事实证明，这道模拟题与最终的中考题有较高的相似度.

（3）关注数学思想方法和核心素养.

本题的命制关注了学生对数学思 想方法的感悟.不管是第（1）问中求点A、B的坐标，还是第（3）问中点D′坐标的确定，都体现了方程思想；而第（2）问中构建二次函数求△PBC面积的最值则是函数思想的很好体现；以几何和函数为背景的综合题，其结合点则是数形结合；第（3）问中等腰三角形存在性的探索则是对分类讨论思想的考查.数学思想与数学学科核心素养一脉相承，重视数学思想方法是提高学生核心素养的有效途径.本题突出了对学生直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养的考查，也希望通过试题向教师传递关注数学思想方法和核心素养的教学主张.