数形结合思想在小学数学中的应用

李志云

摘  要：数形结合是新课程标准体现的一项重要的数学思想，是复杂数学问题化繁为简的重要手段。从转化论和映射论的角度出发，对数、形进行基本解构与重构，进一步解读“以形助数”和“以数解形”的应用，探索“数形结合”数学思想在课堂中的教学策略。

关键词：以形助数;以数解形;形数互变;数形结合

数量关系与几何关系覆盖了基础教育阶段大部分的研究对象，数形结合是基于对几何图形和数量的关系的理解和感悟，进一步探究量与量、量与形之间的内部联系。我们认为，数形结合是新课程标准体现的一项重要的数学思想，它实现了数的可视化和几何图形的数量化，这是复杂数学问题化繁为简的重要手段。我们从转化论和映射论的角度出发，对数、形进行基本解构与重构，进一步解读“以形助数”和“以数解形”的应用，探索数形结合数学思想在课堂中的教学策略。

一、以形助数，直观表达

由于小学生年龄较小，他们的逻辑思维能力往往有限，主要是利用多看知识来领悟，然后进行对照比较、分析讨论图形来进行的。数学来源于生活，它的本质就是来源于现实生活。数学究其本质，对于小学生来说，是十分抽象的一门学科。小学生的基本认识中，感知通常是从视觉图形开始到体貌，进一步认识自己形成的概念，可以加深学生对数的记忆的次数，也更容易理解数学公式。

以形助数，形为数而生。从思维层面看，映射反映论提出了数形结合在映射反演中使得其含义在形式上抽象化的观点，因此我们可以利用数形结合理解为原象系统与反映系统中的一对基本结构帮助基础教育阶段小学数学课堂中的学生建构自我的原象与映象系统。数字只是一种代码或符号，教师应以形助教，化解学习难点。对于整数、分数、小数、百分数的意义认识的教学，我们都需要引导学生从具体实物中抽象出来。其次，对于培养数量关系的感悟而言，伴随着数与数量关系扩张而展开的过程同样需要引导学生基于直观的过程去感知和领悟数量之间的关系。

例如，二年级《生活中的大数》课中探究新知环节就可以通过数一数的方式感悟生活中的大数，学生在数大正方体中有多少个小正方体的过程中，可以借助“个、十、百、千、万”而建立计数单位，并在大脑中抽象出计数单位的实际意义，探究出计数单位中的相互关系。不仅需要看图读数，还要将具体形象转化为数字，解构原有认知并建立新的知识联系。在巩固计数单位的认识的基础上对大数产生了认识。对于角度问题的教学，教师同样可以利用数形结合思想。任课教师可以使用量角器三角板等工具帮助学生更好地建构图形表象。例如，已知等腰三角形的一个角的度数为120度，求另外两个角的度数。教师可以将这个三角形用图形化来实现抽象数字问题的具体形化，缓解学生对数的表征抽象枯燥的认识，引导学生解决角度问题中已知一角求其余两个角的度数的问题 [1]。

二、以数解形，精准量化

以数解形，图形的量化。数形结合思想包含着两方面的转化过程：一是从图形的解读过渡到数量的解读，二是从图形解读到数量解读的过程。但大部分师生更偏爱以形助数，即利用图形直观辅助解题，但少有几何问题算法化的应用。在教学中我们做这样的一个尝试：（1）引导学生描述图形特征及相互关系，对图形理解由模糊逐步清晰。（2）对数与数量关系进行观察，比较数与图形之间的关系。（3）培养学生数与代数问题几何化处理的能力，借助数量关系理解图形，这是调动已有认知结构的过程。具体应用于教学中平行四边形、三角形、梯形的面积的计算，长方体、正方体的体积计算等。

在教学中的应用的一个案例，即列方程表示图形的结构关系和特征的问题。例如，一个长方形被平行于边的两直线分成四个小长方形，其中的三个小长方形的面积分别是15cm2，10cm2，20cm2，求第四块阴影部分的面积。面对这样的问题，学生通常会利用大长方形的面积减去三个已知长方形的面积，但是大长方形的面积未知，故此方案不可行，此时可以引导学生作如下思考：两个长方形的宽若是相等，那么它们的面积比与长的比有关系以及讨论长相等的情况，最后利用比例解决问题。这是图形问题数量化的一种思路，实现抽象的數量关系和直观的图形结合的一种研究路径。再例如，在《真分数与假分数》的教学中，教师应当通过引导学生根据所提示的分数对圆进行涂色练习并表达其所表示的意义，学生经历和自主探究分子与分母的关系，并与圆和单位“1”进行比较，学生通过圆的涂色练习，在渗透数形结合的数学思想下获得真分数与假分数的意义。

三、形数互变，建构模型

形数互变，实质就是对以形助数、以数解形的融合。这要求教学中不仅需要引导学生由形的直观联想数的抽象，还有由数的抽象转化形的直观。通常教学过程中采用见数思形、见形思数的策略。教师需要将数形结合思想进一步融入教学过程中，帮助学生掌握算法的同时，更需要理解算理。学生在探究过程中认识数学本质，寻找数学规律，理解数学思想。数形结合思想视角下的课堂教学设计是教师依据新课程标准实现对教学素材的再创造的过程，小学阶段对于此类数学思想，新课标的要求是“渗透”，教师在呈现图形更多考虑师生交互感，避免图形过于简化，需要充分展现数形结合的效果的同时，还应考虑数形结合中“数”与“形”的等价转化，引导学生理解在不同数学条件下，数学条件不同形态的转化，对此建立准确的数学模型就特别重要 [2]。

以《近似数》的教学为例，为了让学生理解“四舍五入”的原理，我们将形象直观的数轴引入教学，将“四舍五入”放置在数轴的学习中，以此建立最直观的数学模型。《鸡兔同笼》的问题同样可以使用数形互换的策略，利用画图法将数量关系直观化理解，这是学生具体形象思维和抽象思维相互转化、相互促进发展的过程。教师应当引导学生在自主探索过程中，体会数形结合思想，增强对数学思想的理解，尝试改变讲授探究的模式，让学生在亲身经历中获得数学思想，激励学习者主动参与的热情。学习者从“提出问题——搜集分析——解读数据——进行猜想——自我表达——合作交流过程”中建构数学思想，这才是我们课堂需要带给学习者的必要技能。

四、数形结合，协调思维

思维原本是人类大脑通过语言对客观事物进行总结和间接反应的过程。思维是以知觉为基础，超越知觉的极限。通常意义上的思考涉及所有的认知或智力活动。探索和发现事物的内在本质关系和规律，是认识过程的高级阶段。培养学生的数学思想是十分必要的。利用学生的观察、对比、分析、实践等形式，让学生对数学的概念、公式，了解其重要意义，在心里有一个清晰的认识，进而对抽象的东西有一个具体的认识，沟通现实与想象。在现实教学中，我们让学生进行观察迁移、思考，再对数的概念进行训练和巩固经验。在学生对数形式的形成与理解和理解的思维方式的结合中，学生的数字形式与意识思维的应用相结合，那么学生的能力也将进一步提高。学生对数学有了一定分析、领悟能力，我们作为教师在教学中不可以用满堂灌的形式将知识传递给学生，而是要学会让学生参与到问题的解决中去，让学生参与到知识的形成中去。让每个学生当一回“知识的发现者”，用自己的知识背景去认识、去分析，从中领悟到数学思想。古话说，授人以鱼不如授人以渔。我们教给学生分析问题的能力，其实就是传授“渔”的过程，拥有“渔”的能力，学生才能拥有更多的“鱼” [3]。

教学不仅需要传递知识，更应在课堂中锻炼学生的思维。小学阶段的学生思维是从具体形象思维向抽象思维过渡的，且具体形象思维发展迅速，而小学阶段的数学问题以数的认识或数量与数量的关系为主导，这意味着抽象的数学问题与学生既有的具象思维产生矛盾，使得解决问题变得尤为困难。教学过程中我们应运用数形结合思想，提供数的问题与形的问题引导学生独立探究题目中如何运用各类符号，这种方法即能厘清数形之关系，又能促进学生具体形象与抽象思维的同步协调发展 [4]。

以体积的教学为例，学生对于体积的概念与单位在识记上没有什么问题，但是对具体实物判断并不是十分确定，这归因于具体形象思维与抽象思维发展的不协调，教师需要将“体积单位”与实物发生联系。首先，建立生活中实际物象，特别是有关于体积的，引导学生对比获得体积的特质、内涵、外延，掌握其概念，这即是抽象化的过程;其次，在学生建立体积表象和熟知体积概念以后引导学生建立两者的联系;最后，对原象系统与反映系统加以巩固。

数形结合是直观生动与数量精确的有机结合，数量与图形整体或局部的相互迁移与转化，在教學过程中，教师应努力挖掘教材与现实性元素，深刻理解数学思想，树立正确数学观，从“情境——实物——数量的感知——寻找关系——数量运算”出发在小学课堂中渗透数形结合的思想。以形助数，实现图像表象层次结构化，发展空间表象与图式表象;以数解形，促进学生直观问题抽象化，进一步为学生学习提供更多的辅助性的学习策略，发展学生的基本数学素养。在对知识表象加工过程中学习者更容易获得数学概念意象以及习得与转化的能力。

参考文献：

[1]  张进录. 小学数学教学中数形结合思想的渗透分析[J]. 西部素质教育，2016，2（2）.

[2]  毕娉婷. 数学教学中数形结合思想的应用分析[J]. 教育现代化，2017（15）.

[3]  林智. 数形结合思想在小学数学教学中的应用[J]. 教学与管理，2017（29）.

[4]  张晓明. 浅谈数形结合思想在小学数学中的应用[J]. 学周刊，2014（33）.