让学生重组已有经验研究多边形中的角度求解问题

陈林香

(浙江省台州市椒江区第二中学 318000)

点、线、面是构成几何图形的基本要素，研究这些要素之间的关系，是几何学研究的重要内容．根据德国数学家菲利克斯·克莱因的观点，几何是研究变换群下不变性的学科，用几何基本要素构建几何图形，通过图形变化的情境，引导学生观察和想象图形的形状、大小、位置及其变化，借助图形进行直观的分析和思考，进行逻辑推理活动，这有利于学生直观想象和逻辑推理能力的发展．基于此，在学生学习了人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十章三角形后，通过引导学生利用几何要素构造多边形，用几何画板工具，设计图形变化情境下的变式教学，系统研究多边形背景下的角的关系，取得了不错的教学效果．现整理成文，与同行研讨．

1 借助直线的位置关系回顾，提出研究的内容

首先引导学生回顾几何图形的构成要素——点、线、面，指出研究这些要素的关系是平面几何的基本内容，初中阶段主要研究平面图形，这些要素可以从简单到复杂地构成各种平面图形，如点与直线关系，直线、射线、线段的关系，平面上两直线的位置关系，进一步，可以用三条及以上线段构成多边形(如图1)．研究构成多边形的线段之间的大小关系和位置关系是平面几何研究的重要内容，而平面上直线(包括线段)之间的位置关系是用角来刻画的(如图2)．通过这一教学过程，可以让学生经历用几何图形基本要素从简单到复杂地构建几何图形的过程，感悟借助角研究直线之间的位置关系这一基本思想．事实上，希尔伯特在《几何基础》中，首先形式化地定义点、线、平面三类几何要素，再用五组公理给出它们之间的关系，这样，就建立了形式化的几何公理体系[1]．因此，

图1

图2

上述教学过程体现了几何公理化的思想，可以引导学生自然合理地提出研究多边形角的有关问题，感悟这是用数学量化的思想研究直线之间位置关系的典范.

在回顾用直线和线段构成几何图形的基础上，通过以下基本练习巩固相交线、平行线、三角形、凸多边形中角的关系的相关知识，让学生体会研究多边形的角本质上是研究线段的位置关系.

(1)在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则∠B的外角度数是.

(2)△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C=.

(3)一个多边形的每个外角是30°，则内角和是.

(4)如图3，△ABC中，∠A=90°，点E在边AB上，DE∥BC，∠DEB=30°，点F在BC延长线上，则∠ACF=______.

图3

在4道基础习题后，引导学生回顾整理与角度相关的定理和推论．

2 借助图形的运动变化，开展变式研究活动

发展学生的直观想象能力和逻辑推理能力，这是几何教学的核心目标．直观想象能力指的是观察和想象图形的形状、位置及其变化，借助图形直观地分析问题，并在观察和想象的的基础上进行初步的逻辑推断[2]．要把发展学生的直观想象和逻辑推理能力落实到课堂教学，需要设计图形运动变化的情境，开展观察、想象和逻辑推理活动．因此，本课教学的主要思想是：借助点和直线(线段)的位置、数量变化，利用几何画板软件，设计多边形有关角的变式研究活动，在这种研究活动中发展学生的直观想象和逻辑推理能力.

变式1：把图1中的“两条平行线被第三条直线所截”中的第三条直线往里“压断”，就形成图4①的“断木”问题，相关角度问题的结论：∠P=∠A+∠C．学生总结解决问题的基本思路：平行线问题通常构造第三条截线或者添加第三条平行线.

图4

变式2：把AB绕点A旋转，得到图4②，去掉枝节，得到图5①(象箭头，约定称为“箭头形”)．引导学生探索发现：∠P=∠A+∠Q+∠C，总结思考问题的基本思路：通过分割或补形，转化为三角形或多边形内角和或外角性质解决问题.

变式3：拖动图5①中的点P，得到图5②的凸四边形和图5③的“8字形”，有关角度结论：∠P+∠A+∠C+∠Q=360°及∠P+∠C=∠A+∠Q.

图5

通过上述活动，不但能有效发展学生直观想象和逻辑推理能力，还能体会研究多边形有关角的关系的基本思路是：通过适当的分割重组，转化成平行线有关角的关系和凸多边形内外角的性质，用相同的方法解决不同的问题，从而达到以简驭繁的学习效果，这符合学习的认知规律，人们总是通过重组已有的知识经验解决新的问题.

3 增加线段数量，深化变式研究

教师指出，先前的数学活动通过移动线、移动点，实际上是在改变三类线(直线、射线、线段)的位置，这为我们积累了经验：在多边形内角的研究中，角数量的增加及角度大小的变化都源于三类线的变化，通过增加线的数量，结合位置的改变，还可以研究更多的角的性质.

活动1：在图5①的基础上添加线段得到如图6①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

图6

活动2：继续增加线，得到如图6②、6③，分别求图中有字母标注的所有角的度数和.

活动3：围绕增加线主题，学生变图．学生变出很多图形，图6④是其中之一，并求出所有的以标注的字母为顶点的角的和等于540°.

在此基础上引导学生归纳方法：上述图形均可通过连线(如图6①连接BC)，利用“8字形”转化角，再利用多边形的内角和求度数.

通过继续改变线和点的位置探寻角度间的关系.

图7

活动4：以图6①为依托，移动DE得到图7的3个图形，学生迅速发现与图6结构相同，本质不变，方法相通，都有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°.

活动5：仍以图6①为原型，拖动点E，得到图8①，表示∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的关系.

以下是当时的课堂实录：

生1：(很自信地快速举手站起)我认为是∠A+∠C+∠D=∠B+∠E！

师：(微笑着)真快！能告诉怎么想吗？

生1：跟 “8字形”差不多么！

师：哦，还真长得几分像，结论是否可以类比？

停留几秒钟，生1恍然大悟：不对不对，应该是两者相减等于180°！

师：为什么？

生1：左侧是三角形，右侧是四边形，有一对对顶角相等，而四边形比三角形内角和多180°.

生2：可以用“8字形”啊，连接AD即可.

师：很好的想法！善于发现隐藏的基本图形，构造与转化！回到生1最初的结论，什么情况下共顶点图形两侧的角相加能相等？

生1：(马上站起)两边多边形边数相等.

生3：不行，相连接处必须构成一对对顶角！

师：太好了！合作共赢！看来错误并不全是坏事，要学会反思利用错误资源！对于基本图形，既要 “模式识别”，又不能思维定势，要思考本质，本质就是如何往“凸多边形”转化！所以“回到最初”、“回到定义”[3]是解决问题的一种策略，也是正本清源的一种途径．补充一句，生1虽然是直觉导致错误，但数学发现需要直觉！

教师继续移动点E，得到图8②，由先前经验，学生很快意识到要转化成凸多边形，于是连接EC，或延长ED(或延长CD)与AB相交，或延长BE、AC相交．由多边形内角和关系，运用代数方法构建方程组消去无关的角，得到相关角之间的关系为∠A+∠B+∠C+∠E一∠D=180°.

在经历一系列由简到繁、由静到动的数学活动后，师生归纳基本思路：上述图形均可通过“割”或“补”转化为多边形的内角和解决问题，于是得到返璞归真的研究角的关系的根本方法．同时，从复杂图形中分离出基本图形，或者联想模型、完善模型，从而借鉴模型方法，形成类比思维，有助于快速导引思路．事实上，在初中平面几何中，研究角的关系的基本工具有：对顶角，平行线中的同位角、内错角、同旁内角性质，全等和相似三角形的对应角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的角的性质，圆周角定理及其推论等．所有角的关系的研究都可以转化为这些定理相关的问题获得思路，有时利用代数的方程思想数形结合能快速得到结果．通过上述探究活动，可以让学生积累研究角的关系的基本经验，并用这些基本经验解决新的问题.

4 自主编拟问题，放飞思维

在经历变化线的数量及线和点的位置对图形进行了变式研究，得出解决这类问题基本方法的基础上，开展让学生运用“添加线和变化线的位置”的方法构建图形，提出角度研究的问题并进行研究活动，从而深化角的研究方法，加深转化思想的认识．教学中，学生编出了如下的问题：

(1)“箭头形”添加特殊的线——角平分线

如图9①，∠CAB，∠CDB的角平分线AE、DE交于点E，若∠C=50°，∠B=10°，求∠E的度数.

得到研究结论：2∠E=∠C-∠B.

图9

学生在此题基础上把AE、DE变成角度的三等分线，提出了新的问题：

如图9①，若AE、DE为∠CAB，∠CDB的靠近AC和DC的三等分线，求∠C，∠B，∠E的关系.

从数量上变，学生继续拓展成n等分线.

从位置上变，变成∠B，∠C的平分线交于点E，得到如图9②，提出研究∠E，∠A，∠D关系的问题，研究结论是2∠E=∠A+∠D.

(2)“8字形”沿用上述变化路径

如图9③，线段BE与CD相交于点A，连接BC、DE，∠BCD的平分线CF和∠BED的平分线EF交于点F．试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系.

同样一直拓展成n等分线.

教学反思

本课教学核心思想是让学生重组已有经验研究新的问题．基于运动变化，以基本图形为线索，揭示图形联系，把握图形本质．通过回顾几何图形的基本构成要素，让学生通过直线的位置关系的变化和重组逐步得到相交线、平行线、三角形、多边形，认识到角是研究直线之间位置关系的量化工具，提出研究多边形有关角的问题；创设图形的重组和变化情境，设计角的关系的变式研究活动，在这些研究活动中体会转化的思想，把角的关系问题转化为相交线、平行线、三角形内外角、多边形内外角问题，形成可以远迁移的基本经验；同时，通过对图形的形状、位置及其变化的观察和想象，基于图形直观分析角的关系，依据几何定义、基本事实、定理、推论等进行推理等活动，发展学生的直观想象和逻辑推理能力，把发展学生的数学核心素养的根本任务落实到课堂教学中[4].