求解随机微分方程的θ-Heun方法的收敛性

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(长安大学 理学院 陕西 西安 710064)

0 引言

用随机微分方程来描述客观现象在实际应用中有着越来越重要的作用[1-6]，通常用数值方法得到的解来近似方程的解析解.人们主要研究数值求解方法的收敛性[7]和稳定性，研究的较多的是Euler方法、Milstein方法及Runge-Kutta方法.近年来又提出Heun方法，本文在该数值方法的基础上构造出θ-Heun方法，并研究了该方法用于求解标量自治随机微分方程的收敛性.

1 随机微分方程及数值求解方法

1.1 随机微分方程及性质

一维标量自治的随机微分方程[8]:

(1)

其中：f(X),g(X)在[t0,T]上连续可测；EX02<∞；w(t)是标准的winner过程，且与X0相互独立.当t>0，步长h>0时，增量Δw(t)=w(t+h)-w(t)是一列服从正态分布N(0,h)，且相互独立的随机变量，有如下性质[9].

1.2 θ-Heun方法

定义1求解随机微分方程(1)的θ-Heun方法为

Xn+1=Xn+h[(1-θ)f(Xn)+θf(Xn+hf(Xn))]+g(Xn)Δwn,θ∈[0,1].

(2)

2 θ-Heun方法的收敛性

则θ-Heun方法的局部截断误差和整体误差分别为：

，εn+1=X(tn+1)-Xn+1,n=0,1,…,N-1.

引理1(Hölder不等式)[6]如果函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上连续可积，则

引理2[6]如果f(X)、g(X)满足以下条件：

1) 线性增长条件. 存在一个正的常数L1，使

f(X)∨g(X)≤L1(1+X)，或f(X)2∨g(X)2≤L1(1+X2).

2) Lipschitz条件. 存在一个正的常数L2，使f(X)-f(Y)∨g(X)-g(Y)≤L2X-Y,∀X,Y∈R.

“∨”表示两函数中较大者，若f(X),g(X)满足条件1)和2)，则方程(1)的解满足

ⅱ) ∀t0≤s≤t≤T,EX(t)-X(s)2≤C2(t-s).

其中：C1、C2为仅依赖于初值X0和T的常数.

定理1若f(X)、g(X)满足引理1和2，对于θ-Heun方法，p1=2，p2=1，p=1(步长h≤1).

下面证明p1=2.

证明

(3)

对上式两端同时取期望有

hθE(f(X(tn)+hf(X(tn)))-f(X(tn))).

根据w(t)的性质1)可知

A) 根据引理2的(2)和(3)式及w(t)的性质1)有

B) 根据引理2有

hE(f(X(tn)+hf(X(tn)))-f(X(tn)))≤L2hEX(tn)+hf(X(tn))-X(tn)≤L1L2h2E(1+X(tn))≤

下面证明p2=1.

证明由(3)式及(a+b+c)2≤3a2+3b2+3c2得

(4)

B) 根据w(t)的性质2)及引理2有

C) 由引理2可得

由A)、B)、C)得

Eδn+12≤3L22C2h3+3L22C2h2+3L22L1h4(1+C1)≤3L22(2C2+L1(1+C1))h2.

下面证明p=1.

A) 由引理2的2)及εn的定义得h(1-θ)Ef(X(tn))-f(Xn)≤L2hEX(tn)-Xn=L2hEεn.

B) 由引理2的2)及w(t)与Xn的独立性[8]得

E(g(X(tn))-g(Xn))Δwn≤L2E(X(tn)-Xn)Δwn=L2EεnEΔwn.

E(g(X(tn))-g(Xn))Δwn≤L2Eεn.

C) 由引理2的2)及εn的定义得

记C5=2L2+L22，显然C5>0且是与h无关的常数，则Eεn+1≤(1+L2+C5h)Eεn+Eδn+1.

反复应用上述关系可得

由引理3，当ε0=0时，Eε0=0，再由(1)的证明上式变为

3 数值实验

对于实验方程

图1 θ-Heun方法数值解与精确解的对比Fig.1 The comparison of the numerical solution of the θ-Heun method to the exact solution

图2 Heun方法数值解与精确解的对比Fig.2 The comparison of the numerical solution of the Heun method to the exact solution