回望高考数学全国Ⅰ卷应用试题

季益霞

摘 要：我们不仅满足于“让学生感到惊奇”，更要让学生归纳总结，“知其所以然”。培养学生学习科学的探究态度，善于发现，敢于质疑的数学精神，巩固生活中的数学模型，培养学生的应用意识。

关键词：试题 数学模型 数学建模

启发学生解决数学应用题的前提条件是审清题意，并且认识到提取题目中的数量关系，也就是做好文字语言与数学语言的转换工作。在提取数量关系时，应排除专业术语等非数学因素的干扰，在分析、解决转化以后的纯数学问题时，要求学生较为熟悉地掌握数学的有关知识点与基本方法，最后，在纯数学问题解决之后，应注意把数学问题的解向实际问题还原。

学生遇到数学应用题就害怕，原因有两点：第一是阅读量非常大，题目意思难读懂;第二是应用题背景不熟悉。应用题在高考中无疑是一道门槛，将一部分学生挡在了门外。

一、试题回望

例1：古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是___。

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

学生看到这一题吓得要死，一些美术生反倒做出来啦，另外一部分学生利用排除法做出来啦。答案选B。

例2：古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是___。

A.B.C.D.

考查学生对以古代典籍为背景的统计结果的判断。题目使学生体会到数学的应用模型价值，会用数学知识解决实际问题，又考查学生的理解能力、数据处理能力。符号与图形的结合，体现此题的函数应用性。答案选A。

例3：为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分記为X。

1.求的分布列;

2.若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，

（i）证明：为等比数列;

（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性。

本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题。本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高。

解：（1）X的所有可能取值为。

表示最终认为甲药更有效的概率，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理。

高考中，笔者带的班中这一题得分率低得很，许多学生没有得分，根本没有看直接选择放弃。主要是对应用题的恐惧而选择逃避;有的根本不看也看不懂，不理解，导致丢分。

二、数学模型的培养

1.基于教材，培养学生建模

高中利用数学知识解决的实际问题也越来越多。以教材为主要载体，让学生运用学到的数学知识解决一些实际问题，是培养学生应用意识的一个很好的切入点[1];让学生能够主动尝试从数学角度看问题，运用所学的数学知识和方法寻求解决问题的方案。能使学生进一步加深对函数概念、指数函数概念及其性质、对数函数概念及其性质的认识，并体会到数学知识在生产生活实际各个方面的应用，增强学生学习数学的兴趣，提高数学应用能力。为了使学生更好地建立数学模型，通过具体到一般，发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法。必要情况下，对学生生疏的背景，如物理方面的知识，应适当予以复习或补充，数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。教师在教学中要善于充实教材、处理教材，调整教材，利用教材培养学生运用数学的意识。

2.贴近生活，提炼数学问题

由于数学模型具有很强的操作性和较准确的预见性，所以在实际生活中有广泛的应用，存贮运输模型，让农产品花最少的费用和时间上市，实现农民与消费者“双赢”;温度控制模型，让钢铁的强度和韧性达到最优化;树木最佳砍伐时机模型，让我们获利最优的情况下又能确保森林资源的再循环;电力工人检测电线，找故障，汽车的行驶规律，马尔萨斯的人口增长模型等。生活实践中提炼数学问题是一个很好的教学解决实际问题;让学生体会建立函数模型的目的是解决实际问题，并感受数学应用就是从实际中来，到实际中去。

3.综合知识，进行跨学科交流

数学建模的基本思想，有关物理问题的数学模型使学生适应各学科的横向联系，能够建立一些物理问题的数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，用联系的观点看问题，能够将生产实际、物理研究中的某些问题用数学知识、数学方法进行解决。了解函数思想在解决物理问题时所发挥的作用，同时对高考中具有导向意义的题目有所认识，了解高考命题趋势的发展，要求学习通过审题，自己抽象出其中的数量关系。在通过老师的帮助加以确认之后，再着手进行纯数学问题的解决，将各个学科的知识渗透到数学的学习与教学中，有助于提高学生学习数学的积极性，有助于培养高中生对知识的综合运用能力，锻炼学生的逻辑思维能力[2]。

例如，在高考中具有导向意义的知识，以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言。利用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式转化为二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用。生活中不缺乏数学，缺乏的是发现数学的眼睛。让学生大大增强了数学的应用意识，在生活中也时时留意数学。

参考文献

[1]李秉德，李定仁.教学论[M].北京：人民教育出版社，1991.

[2]罗小伟.中学数学教学论[M].南宁：广西民族出版社，2000.