剩余型区间值直觉模糊差算子的统一形式

叶明飞, 金检华

(西南石油大学 理学院, 四川 成都 610500)

1 预备知识

如果把经典的二值逻辑理论的语义系统中原子公式的赋值域由{0,1}扩充到单位区间[0,1],就形成了模糊逻辑系统,不同的模糊逻辑系统对应不同的蕴涵算子[1-5],其中,与[0,1]上的左连续三角模[6]相伴随的剩余型模糊蕴涵算子[2-4,6]在模糊逻辑的语义系统中占有重要的地位.近些年来对于不同的模糊蕴涵算子形成的模糊代数的研究取得了丰富的研究成果[5,7-11].然而对于模糊差算子[1,5]及其相关理论[9-11]的研究并不多见.文献[9-10]提出的余剩余格理论在格上系统讨论由广义三角余模及其相伴随的模糊差算子构成的余伴随对的性质.文献[12-14]为剩余型直觉模糊蕴涵算子和剩余型直觉模糊差算子以及直觉模糊推理的研究奠定了基础.文献[12]提出直觉三角模和直觉三角余模,文献[13]给出剩余型直觉模糊蕴涵的概念,文献[14]给出直觉模糊推理的逻辑系统的理论框架.文献[15-18]基于余剩余格理论进一步研究剩余型直觉模糊蕴涵算子和剩余型直觉模糊差算子统一形式以及直觉模糊推理的三I理论.文献[15]对直觉三角模和直觉三角余模的性质进行研究,提出由此生成的直觉伴随对和直觉余伴随对的概念,并给出与直觉三角模相伴随的剩余型直觉蕴涵算子的统一形式;文献[16]基于左连续三角模生成的剩余型直觉模糊蕴涵研究直觉模糊三I算法理论,给出直觉模糊三I算法解的一般形式并讨论它们的还原性;文献[17]在直觉模糊区域上研究三角模和三角余模的性质,给出直觉模糊差算子和直觉余伴随的概念,得到剩余型直觉模糊差算子的统一形式.为了提高直觉模糊三I推理IFMT的还原性,文献[18]基于左连续三角模生成的剩余型直觉模糊差算子提出对偶的三I理论FMT和IFMT,并证明它们具有还原性.余剩余格理论不仅丰富模糊代数理论,而且为其他代数结构的研究提供了有力的工具[19].直觉模糊集作为模糊集的推广[20],被广泛应用在处理不确定性问题上[21].作为直觉模糊集的推广,区间值直觉模糊集在不确定信息处理方面比直觉模糊集能更有效地减少信息的损失和反映不确定信息.因此,它也被广泛地应用于诸多领域,例如汽车尾气排放预测、模式识别、多属性决策、图像处理等[22-25].本文对区间值直觉模糊区域上的格代数结构作进一步研究,在余剩余格理论的基础上给出剩余型区间值直觉模糊差算子的统一形式,建立起区间值直觉模糊差算子与模糊算子之间的关系,并给出由4类常见的左连续三角模所生成的区间值直觉模糊差算子的具体表达式.

下面首先回顾三角模和三角余模及其伴随算子的相关知识.设X为论域,记L=[0,1],x∨y=sup{x,y},x∧y=inf{x,y},∀x,y∈X.

定义1.1[6]若L上的二元运算⊗满足交换律、结合律、单调增和边界条件a⊗1=a,则称⊗是L上的三角模.若L上的二元运算⊕满足交换律、结合律、单调增和边界条件a⊕0=a,则称⊕是L上的三角余模.

命题1.1[6]⊗是L上的三角模,若二元运算⊕满足

a⊕b=1-(1-a)⊗(1-b),

则⊕是L上的三角余模,称⊕为与⊗对偶的三角余模.反之,⊕是L上的三角余模,若二元运算⊗满足

a⊗b=1-(1-a)⊕(1-b),

则⊗是L上的三角模,称⊗为与⊕对偶的三角余模.

命题1.2[10]三角模⊗是左连续的当且仅当对偶的三角余模⊕是右连续的.

命题1.3[6]若⊗是左连续的三角模,则L上有二元运算→,使得(⊗,→)构成伴随对,即a⊗b≤c当且仅当a≤b→c,且(L,⊗,1)是交换半群.

命题1.4[10]若⊕是右连续的三角余模,则L上有二元运算⊖,使得(⊕,⊖)构成余伴随对,即c≤a⊕b当且仅当c⊖b≤a,且(L,⊕,0)是交换半群.

定义1.3[17]若(⊗,→)构成伴随对,(⊕,⊖)构成余伴随对并且⊕和⊗对偶,则称→、⊕和⊖是⊗的关联算子.

例1.1[16]下面列举4个重要的三角模算子.前3个是连续的三角模算子,最后一个是左连续三角模:

1) Godel三角模a⊗Gb=a∧b;

2) Lukasiewicz三角模a⊗Lub=(a+b-1)∨0;

3) 乘积三角模a⊗πb=ab;

4)R0三角模

与上述4种三角模关联的算子分别为:

2′)a→Lub=(1-a+b)∧1,

a⊕Lub=(a+b)∧1,b⊖Lua=(b-a)∨0.

设SI是[0,1]上所有闭子区间的集合,即SI={[a,b]|a,b∈[0,1]},在SI上可以定义一个偏序关系:[a,b]≤[c,d]⟺a≤c且b≤d.显然,(SL,≤)是一个有界的完备格.

定义1.4[26]若⊗是[0,1]上的三角模,则在SI上由三角模⊗生成的区间值模糊三角模⊗SI可定义为

[a,b]⊗SI[c,d]=[a⊗c,b⊗d].

(1)

相似地,若⊕是[0,1]上的三角余模,则在SI上由三角余模⊕生成的区间值模糊三角余模⊕SI可定义为

[a,b]⊕SI[c,d]=[a⊕c,b⊕d)].

(2)

定义1.5[27]设论域X={x1,x2,...,xn},X上的直觉模糊集A可以用一个真隶属函数tA(x)和一个假隶属函数fA(x)来表达

tA:X→[0,1],fA:X→[0,1],

其中要求0≤tA(x)+fA(x)≤1,∀x∈X.记A={〈x,tA(x),fA(x)〉|x∈X}.

直觉模糊集作为模糊集的推广,它把论域X上的特征函数的取值从L扩充到三角形区域L*={(u,v)∈[0,1]2|u+v≤1}.在L*上可以定义一个偏序关系:

α,β∈L*,α=(a1,b1),β=(a2,b2),α≤β当且仅当a1≤a2,b1≥b2.可以看出,α∧β=(a1∧a2,b1∨b2),α∨β=(a1∨a2,b1∧b2),0*=(0,1)和1*=(1,0)分别是L*的最小元和最大元.不难证明(L*,≤)是完备的分配格.

定义1.6[17]二元运算⊗L*被称为由三角模⊗生成的直觉模糊三角模,如果

α⊗L*β=(a1⊗a2,b1⊕b2).

(3)

相似地,二元运算⊕L*被称为由三角模⊗生成的直觉模糊三角余模,如果

α⊕L*β=(a1⊕a2,b1⊗b2),

(4)

在这里要求⊕是三角模⊗的对偶三角余模.

命题1.5[17](L*,⊗L*)是以1*为单位元的交换半群,⊗L*是单调递增的；(L*,⊕L*)是以0*为单位元的交换半群,且⊕L*是单调递增的.

命题1.6[17]若⊗是左连续三角模,则有：

定理1.1[17]若⊗L*是由左连续三角模⊗生成的直觉模糊三角模,则在L*上一定存在一个二元运算→L*满足：

γ⊗L*α≤β⟺γ≤α→L*β,

(5)

α→L*β=∨{η∈SL*|η⊗L*α≤β}.

(6)

定义1.7[17]把满足(5)式的(⊗L*,→L*)称为直觉模糊伴随对,把满足(6)式的→L*称为剩余型直觉模糊蕴涵算子.

定理1.2[17]若⊕L*是由左连续三角模⊗生成的直觉模糊三角余模,则在L*上一定存在一个二元运算⊖L*满足：

α≤γ⊕L*β⟺α⊖L*β≤γ,

(7)

α⊖L*β=∧{η∈L*|α≤η⊕L*β}.

(8)

定义1.8[17]把满足(7)式的(⊕L*,⊖L*)称为直觉模糊余伴随对,把满足(8)式的⊖L*称为剩余型直觉模糊差算子.

定理1.3[17]若α,β∈L*,α=(a1,a2),β=(b1,b2),⊖L*是由左连续三角模⊗生成的剩余型直觉模糊差算子,则有

α⊖L*β=

(a1⊖b1,(b2→a2)∧(1-a1⊖b1)).

(9)

定义1.9[28]设X是一个普通论域,X上的一个区间值直觉模糊集可以表示为

A={〈x,μA(x),νA(x)〉:x∈X},

其中

μA(x):X→SI, νA(x):X→SI,

2 区间值直觉伴随对和区间值直觉余伴随对

很自然,可以在SL*上定义一个偏序关系:

α,β∈SL*,α=([a1,b1],[c1,d1]),β=([a2,b2],[c2,d2]),α≤β⟺a1≤a2,b1≤b2,c1≥c2,d1≥d2,并且α∧β=([a1∧a2,b1∧b2],[c1∨c2,d1∨d2]),α∨β=([a1∨a2,b1∨b2],[c1∧c2,d1∧d2]),0*=([0,0],[1,1])和1*=([1,1],[0,0])分别是SL*上的最小元和最大元.很容易证明(SL*,≤)是一个有界的完备格.

在SL*上可以定义如下形式的2个二元运算:

α⊗SL*β=([a1⊗a2,b1⊗b2],

[c1⊕c2,d1⊕d2]),

(10)

⊗是三角余模⊕的对偶三角模

α⊕SL*β=([a1⊕a2,b1⊕b2],

[c1⊗c2,d1⊗d2]),

(11)

⊕是三角模的⊗对偶三角余模.

一方面,可以证明这2个二元运算是有效的,即α⊗SL*β,α⊕SL*β∈SL*.因为α,β∈SL*,i.e.,b1+d1≤1,b2+d2≤1,由于⊕的单调性和⊗与⊕是对偶的,b1⊗b2+d1⊕d2≤b1⊗b2+(1-b1)⊕(1-b2)=b1⊗b2+1-b1⊗b2=1,i.e.,α⊗SL*β∈SL*.同理,可以证实α⊕SL*β∈SL*.另一方面,在(SL*,≤)里⊗SL*和⊕SL*满足交换性、结合性、单调性以及边界条件α⊗SL*1*=α和α⊕SL*0*=α可以很容易被证实.因此,可以得到如下结论.

命题2.1(SL*,⊗SL*)是以1*为单位元的交换半群,且⊗SL*是单调递增的；(SL*,⊕SL*)是以0*为单位元的交换半群,且⊕SL*是单调递增的.

定义2.1称⊗SL*是由三角模⊗生成的区间值直觉模糊三角模,称⊕SL*是由三角模⊗生成的区间值直觉模糊三角余模.

命题2.2若⊗是左连续三角模,则有：

证明设α,γ∈SL*且αi=([ai,bi],[ci,di]),γ=([a,b],[c,d]),由⊗是左连续的三角模和⊗SL*的定义以及命题1.2可知

⊗SL*γ=

([a,b],[c,d])=

所以⊗SL*为SL*上的左连续区间值直觉模糊三角模；同理可证明⊕SL*为SL*上的右连续区间值直觉模糊三角余模.

定理2.1若⊗SL*是由左连续三角模⊗生成的区间值直觉模糊三角模,则在SL*上一定存在一个二元运算→SL*满足

γ⊗SL*α≤β⟺γ≤α→SL*β,

(12)

并且

α→SL*β=

∨{η∈SL*|η⊗SL*α≤β}.

(13)

证明由(13)式可知,若γ⊗SL*α≤β,则γ≤α→SL*β.相反,如果γ≤α→SL*β,则有γ≤∨{η∈SL*|η⊗SL*α≤β}.又因为⊗SL*是单调递增和左连续的,从而

γ⊗SL*α≤∨{η∈SL*|η⊗SL*α≤β}⊗SL*α=

∨{η⊗SL*α|η⊗SL*α≤β}=β,

即γ⊗SL*α≤β.

定义2.2把满足(12)式的(⊗SL*,→SL*)称为区间值直觉模糊伴随对,把满足(13)式的→SL*称为剩余型区间值直觉模糊蕴涵算子.

定理2.2若⊕SL*是由左连续三角模⊗生成的区间值直觉模糊三角余模,则在SL*上一定存在一个二元运算⊖SL*使得:

α≤γ⊕SL*β⟺α⊖SL*β≤γ,

(14)

α⊖SL*β=

∧{η∈SL*|α≤η⊕SL*β}.

(15)

证明由⊖SL*的定义,如果α≤γ⊕SL*β,显然有α⊖SL*β≤γ.相反,如果α⊖SL*β≤γ,则有

∧{η∈SL*|α≤η⊕SL*β}≤γ.

又因为⊕SL*是单调递增和右连续的,从而

γ⊕SL*β≥

(∧{η∈SL*|α≤η⊕SL*β})⊕SL*β=

∧{η⊕SL*β|α≤η⊕SL*β}=α,

因此α≤γ⊕SL*β.

定义2.3把满足(14)式的(⊕SL*,⊖SL*)称为区间值直觉模糊余伴随对,把满足(15)式的⊖SL*称为剩余型区间值直觉模糊差算子.

命题2.3若⊖SL*是一个由左连续三角模⊗生成的剩余型区间值直觉模糊差算子,且(⊕SL*,⊖SL*)是SL*上的一个区间值直觉余伴随对,则下列性质成立:

1)α⊖SL*0*=α;

2)α⊖SL*β=0*当且仅当α≤β;

3)α⊖SL*β≤γ当且仅当α⊖SL*γ≤β;

4)α⊖SL*(β⊕SL*γ)=(α⊖SL*β)⊖SL*γ=(α⊖SL*γ)⊖SL*β;

5) (α⊕SL*β)⊖SL*β≤α≤(α⊖SL*β)⊕SL*β;

6) ((α⊕SL*β)⊖SL*β)⊖SL*α=((α⊕SL*β)⊖SL*α)⊖SL*β=0*;

7) (α⊕SL*γ)⊖SL*(γ⊕SL*β)≤α⊖SL*β≤(α⊖SL*γ)⊕SL*(γ⊖SL*β);

10)α⊖SL*β关于第一个变元α单调递增,关于第二个变元β单调递减.

证明1) 因为(⊕SL*,⊖SL*)是SL*上的一个区间值直觉模糊余伴随对且(SL*,⊕SL*)是以0*为单位元的交换半群,所以由α≤α=α⊕SL*0*得α⊖SL*0*≤α;又由α⊖SL*0*≤α⊖SL*0*得

α≤(α⊖SL*0*)⊕SL*0*=α⊖SL*0*,

即α=α⊖SL*0*.

2)α≤β,当且仅当α≤0*⊕SL*β,当且仅当α⊖SL*β≤0*,当且仅当α⊖SL*β=0*,即2)成立.

3)α⊖SL*β≤γ,当且仅当α≤γ⊕SL*β,当且仅当α≤β⊕SL*γ,当且仅当α⊖SL*γ≤β.

4) ∀η∈SL*,α⊖SL*(β⊕SL*γ)≤η,当且仅当α≤η⊕SL*(β⊕SL*γ),当且仅当(α⊖SL*β)⊖SL*γ≤η,当且仅当(α⊖SL*γ)⊖SL*β≤η,即4)成立.

5) 由区间值直觉模糊余伴随对及(SL*,⊕SL*)的性质,α⊕SL*β≤α⊕SL*β,当且仅当(α⊕SL*β)⊖SL*β≤α;α⊖SL*β≤α⊖SL*β,当且仅当α≤(α⊖SL*β)⊕SL*β,即5)成立.

6) 由2)和5)直接可证得6)成立.

7) 由区间值直觉模糊余伴随对的性质以及5)可知,α⊕SL*γ≤((α⊖SL*β)⊕SL*β)⊕SL*γ=(α⊖SL*β)⊕SL*(γ⊕SL*β),所以(α⊕SL*γ)⊖SL*(γ⊕SL*β)≤α⊖SL*β,同理可证α⊖SL*β≤(α⊖SL*γ)⊕SL*(γ⊖SL*β),即7)成立.

8) 由⊕SL*右连续可知

⊕SL*α),

推论2.1设⊕SL*是右连续的区间值直觉模糊三角余模,且(⊕SL*,⊖SL*)是SL*上的区间值直觉模糊余伴随对,则有：

1) (α⊕SL*β)⊖SL*γ≤α⊕SL*(β⊖SL*γ),α⊖SL*(γ⊖SL*β)≤α⊕SL*(β⊖SL*γ);

2)α⊖SL*(β⊖SL*γ)≤(α⊖SL*β)⊕SL*γ,(α⊕SL*γ)⊖SL*β≤(α⊖SL*β)⊕SL*γ;

3) (α⊕SL*γ)⊖SL*(β⊕SL*η)≤(α⊖SL*β)⊕SL*(γ⊖SL*η);

4) (α⊖SL*γ)⊖SL*(β⊖SL*η)≤(α⊖SL*β)⊕SL*(η⊖SL*γ);

5) (α⊕SL*γ)⊖SL*(β⊖SL*η)≤(α⊕SL*η)⊕SL*(γ⊖SL*β);

6) (α∨β)⊖SL*β=α⊖SL*β,α⊖SL*(α∧β)=α⊖SL*β;

7)α⊖SL*(α⊖SL*β)≤α∧β,α∨β≤(α⊖SL*β)⊕SL*β;

8) (α∨γ)⊖SL*(β∨γ)≤α⊖SL*β,(α∧γ)⊖SL*(β∧γ)≤α⊖SL*β;

9) (α∨γ)⊖SL*(β∨η)≤(α⊖SL*β)∨(γ⊖SL*η);

10) (α∧γ)⊖SL*(β∧η)≤(α⊖SL*β)∨(γ⊖SL*η).

证明1) 由区间值直觉模糊余伴随对和(SL*,⊕SL*)的性质及命题2.3的5)知α⊕SL*β≤α⊕SL*β≤α⊕SL*((β⊖SL*γ)⊕SL*γ)=(α⊕SL*(β⊖SL*γ))⊕SL*γ,所以(α⊕SL*β)⊖SL*γ≤α⊕SL*(β⊖SL*γ).同理,由(SL*,⊕SL*)的性质及命题2.3的7)可知α⊖SL*(γ⊖SL*β)≤α⊕SL*(β⊖SL*γ),故1)成立.

2) 由区间值直觉模糊余伴随对和(SL*,⊕SL*)的性质及命题2.3的4)和5)知α⊖SL*β≥((α⊕SL*γ)⊖SL*γ)⊖SL*β=((α⊕SL*γ)⊖SL*β)⊖SL*γ,从而α⊖SL*(β⊖SL*γ)≤(α⊖SL*β)⊕SL*γ,同理α⊖SL*β≥α⊖SL*((β⊖SL*γ)⊕SL*γ)=(α⊖SL*(β⊖SL*γ))⊖SL*γ,从而(α⊕SL*γ)⊖SL*β≤(α⊖SL*β)⊕SL*γ,即2)成立.

3) 由区间值直觉模糊余伴随对和(SL*,⊕SL*)的性质及命题2.3的4)以及推论2.1的1)和2)可知(α⊕SL*γ)⊖SL*(β⊕SL*η)=((α⊕SL*γ)⊖SL*β)⊖SL*η≤((α⊖SL*β)⊕SL*γ)⊖SL*η≤(α⊖SL*β)⊕SL*(γ⊖SL*η),即3)成立,同理可证4)和5)成立.

6) 由命题2.3的1)、2)和9)易知(α∨β)⊖SL*β=(α⊖SL*β)∨(β⊖SL*β)=(α⊖SL*β)∨0*=α⊖SL*β,同理由命题2.3的1)、2)和8)知α⊖SL*(α∧β)=α⊖SL*β,即6)成立.

7) 因为0*是SL*上的最小元,由命题2.3的1)和10)易知α⊖SL*(α⊖SL*β)≤α⊖0*=α,再由命题2.3的5)和区间值直觉余伴随对的性质可知α⊖SL*(α⊖SL*β)≤β,所以α⊖SL*(α⊖SL*β)≤α∧β,同理可证α∨β≤(α⊖SL*β)⊕SL*β,即7)成立.

8) 由命题2.3的2)、9)和10)知(α∨γ)⊖SL*(β∨γ)=(α⊖SL*(β∨γ))∨(γ⊖SL*(β∨γ))=α⊖SL*(β∨γ)≤α⊖SL*β,同理由命题2.3的8)和10)可知(α∧γ)⊖SL*(β∧γ)≤α⊖SL*β成立,即8)成立.对于9)、10)的证明与8)相同,由命题2.3的8)～10)直接可证得.

3 剩余型区间值直觉模糊差算子的统一表达形式

由文献[17]可知剩余型直觉模糊差算子⊖L*可以表达成L上算子的统一形式(9)式,这个结果揭示了它和L上所对应的模糊算子之间的关系.本文研究了由左连续的三角模⊗可以生成SL*上右连续的区间值直觉三角余模⊕SL*,并且可以找到SL*上的一个剩余型区间值直觉模糊差算子⊖SL*,使得(⊕SL*,⊖SL*)构成区间值直觉余伴随对.(15)式给出了⊖SL*的求解表达式.这样一个剩余型区间值直觉模糊差算子⊖SL*能否像剩余型直觉模糊差算子⊖L*那样由L上的算子来表达,并且找到它和L上所对应的模糊算子之间的关系呢？下面的这个定理给出了回答.

定理3.1若α,β∈SL*,α=([a1,b1],[c1,d1]),β=([a2,b2],[c2,d2]),⊖SL*是由左连续三角模⊗生成的剩余型区间值直觉模糊差算子,则有

α⊖SL*β=([a1⊖a2,(a1⊖a2)∨

(b1⊖b2)],[(c2→c1)∧(d2→d1)∧

(1-a1⊖a2)∧(1-b1⊖b2),(d2→d1)∧

(1-a1⊖a2)∧(1-b1⊖b2)]).

(16)

证明令η=([a,b],[c,d])=α⊖SL*β,ηi=([ei,fi],[hi,ki])∈SL*.由定理2.2可得

η=([a,b],[c,d])=α⊖SL*β=

∧{ηi∈SL*|α≤ηi⊕SL*β}=

∧{([ei,fi],[hi,ki])|([a1,b1],[c1,d1])≤

([ei,fi],[hi,ki])⊕SL*([a2,b2],[c2,d2])}=

∧{([ei,fi],[hi,ki])|a1≤

ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,hi⊗c2≤c1,

ki⊗d2≤d1,ei+ki≤1,fi+ki≤1,

ei≤fi,hi≤ki}=(∧[ei,fi],∨[hi,ki]).

由余伴随对的性质,η的第一个元素[a,b]可以由下面形式给出

[a,b]=∧{[ei,fi]|a1≤

ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,ei≤fi}=

∧{[ei,fi]|[a1,b1]≤[ei,fi]⊕SI[a2,b2]}=

[a1⊖a2,(a1⊖a2)∨(b1⊖b2)].

事实上,假设M={[ei,fi]|a1≤ei⊕a2,b1≤fi⊕b2},如果∀[ei,fi]∈M,则a1≤ei⊕a2且b1≤fi⊕b2,从而a1⊖a2≤ei≤fi且b1⊖b2≤fi.因此[a1⊖a2,(a1⊖a2)∨(b1⊖b2)]≤[ei,fi],所以

[a1⊖a2,(a1⊖a2)∨

(b1⊖b2)]≤[a,b].

(17)

另一方面

[a1⊖a2,(a1⊖a2)∨(b1⊖b2)]⊕SI

[a2,b2]=[(a1⊖a2)⊕a2,((a1⊖a2)∨

(b1⊖b2))⊕b2]≥[(a1⊖a2)⊕a2,

(b1⊖b2)⊕b2]≥[a1,b1],

从而

[a,b]≤[a1⊖a2,(a1⊖a2)∨

(b1⊖b2)].

(18)

最后,由(17)和(18)式可得

[a,b]=[a1⊖a2,(a1⊖a2)∨

(b1⊖b2)].

(19)

对于η的第二个元素[c,d]有

[c,d]=∨{[hi,ki]|a1≤ei⊕a2,

b1≤fi⊕b2,hi⊗c2≤c1,ki⊗d2≤d1,

ki≤1-ei,ki≤1-fi,hi≤ki},

因此可得

d=∨{ki|a1≤ei⊕a2,b1≤

fi⊕b2,ki⊗d2≤d1,ki≤1-ei,ki≤1-fi}≤

∨{ki|ki⊗d2≤d1}∧(∨{ki|a1≤

ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,ki≤1-ei,ki≤1-fi})≤

∨{ki|ki⊗d2≤d1}∧(∨{1-ei|a1≤

ei⊕a2})∧(∨{1-fi|b1≤fi⊕b2})=

∨{ki|ki⊗d2≤d1}∧(1-∧{ei|a1≤

ei⊕a2})∧(1-∧{fi|b1≤fi⊕b2})=

(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧(1-b1⊖b2),

即

d≤(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)

∧(1-b1⊖b2);

(20)

c=∨{hi|a1≤ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,

hi⊗c2≤c1,ki⊗d2≤d1,ki≤1-ei,

ki≤1-fi,hi≤ki}≤

∨{hi|hi⊗c2≤c1}∧(∨{ki|a1≤

ei⊕a2,b1≤fi⊕b2,ki⊗d2≤d1,

ki≤1-ei,ki≤1-fi})≤

(c2→c1)∧(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧

(1-b1⊖b2),

即

c≤(c2→c1)∧(d2→d1)∧

(1-a1⊖a2)∧(1-b1⊖b2).

(21)

记

γ=([a1⊖a2,(a1⊖a2)∨(b1⊖b2)],

[(c2→c1)∧(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧

(1-b1⊖b2),(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧

(1-b1⊖b2)]).

由(19)～(21)式可得

η=([a,b],[c,d])≥γ.

(22)

另一方面

([a1⊖a2,(a1⊖a2)∨(b1⊖b2)],

[(c2→c1)∧(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧

(1-b1⊖b2),(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧

(1-b1⊖b2)])⊕SL*β=

([a1⊖a2,(a1⊖a2)∨(b1⊖b2)],

[(c2→c1)∧(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧

(1-b1⊖b2),(d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧

(1-b1⊖b2)])⊕SL*([a2,b2],[c2,d2])=

([(a1⊖a2)⊕a2,((a1⊖a2)∨

(b1⊖b2))⊕b2],[((c2→c1)∧(d2→d1)∧

(1-a1⊖a2)∧(1-b1⊖b2))⊗c2,

((d2→d1)∧(1-a1⊖a2)∧

(1-b1⊖b2))⊗d2])≥

([(a1⊖a2)⊕a2,(b1⊖b2)⊕b2],

[(c2→c1)⊗c2,(d2→d1)⊗d2])≥

([a1,b1],[c1,d1])=α.

由定理2.2知

η=([a,b],[c,d])≤γ.

(23)

因此,由(22)和(23)式,定理得证.

推论3.1若区间值直觉模糊集退化为普通的直觉模糊集,则由左连续三角模⊗生成的区间值直觉模糊差算子⊖SL*相应地退化为直觉模糊差算子⊖L*,即∀α,β∈SL*,α=([a1,a1],[a2,a2]),β=([b1,b1],[b2,b2]),有

α⊖SL*β=(a1⊖b1,(b2→a2)∧

(1-a1⊖b1)).

(24)

证明由定理3.1直接可得证.

下面将分别给出由例1.1中4种不同三角模生成的区间值直觉模糊差算子的具体形式.

例3.1若⊗=⊗Lu,则有:

a1⊖Lua2=(a1-a2)∨0,

b1⊖Lub2=(b1-b2)∨0;

1-a1⊖Lua2=(1-a1+a2)∧1,

1-b1⊖Lub2=(1-b1+b2)∧1;

c2→Luc1=(1-c2+c1)∧1,

d2→Lud1=(1-d2+d1)∧1;

从而

a=(a1-a2)∨0,

b=(a1-a2)∨(b1-b2)∨0,

c=(1-a1+a2)∧(1-b1+b2)∧

(1-c2+c1)∧(1-d2+d1)∧1,

d=(1-a1+a2)∧(1-b1+b2)∧

(1-d2+d1)∧1.

因此

α⊖SL*β=([(a1-a2)∨0,

(a1-a2)∨(b1-b2)∨0],

[(1-a1+a2)∧(1-b1+b2)∧(1-c2+

c1)∧(1-d2+d1)∧1,(1-a1+a2)∧

(1-b1+b2)∧(1-d2+d1)∧1]).

例3.2若⊗=⊗G,则有:

因此:

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[d1,d1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[c1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[c1,d1]);

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,b1],[1-b1,1-b1];

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([0,b1],[d1,d1]);

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,b1],[c1,1-b1]);

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([0,b1],[c1,d1]);

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([a1,a1],[1-a1,1-a1]);

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([a1,a1],[d1,d1]);

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([a1,a1],[c1,1-a1]);

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([a1,a1],[c1,d1]);

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([a1,b1],[1-b1,1-b1]);

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([a1,b1],[d1,d1]);

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([a1,b1],[c1,1-b1]);

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([a1,b1],[c1,d1]).

例3.3若⊗=⊗π,则有:

因此:

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,则

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,则

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,则

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,则

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,则

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,则

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,则

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,则

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,则

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,则

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,则

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,则

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,则

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,则

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,则

例3.4若⊗=⊗0,则有:

因此:

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[(1-d2)∨d1,

(1-d2)∨d1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[(1-c2)∨c1,1]);

若a1≤a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([0,0],[((1-c2)∨c1)∧

((1-d2)∨d1),(1-d2)∨d1]);

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,b1∧(1-b2)],[(1-b1)∨b2,

(1-b1)∨b2]);

若a1≤a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([0,b1∧(1-b2)],

[((1-b1)∨b2)∧((1-d2)∨d1),

((1-b1)∨b2)∧((1-d2)∨d1)]);

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([0,b1∧(1-b2)],[((1-b1)∨

b2)∧((1-c2)∨c1),(1-b1)∨b2]);

若a1≤a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([0,b1∧(1-b2)],

[((1-b1)∨b2)∧((1-c2)∨c1)∧

((1-d2)∨d1),((1-b1)∨b2)∧

((1-d2)∨d1)]);

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([a1∧(1-a2),a1∧(1-a2)],

[(1-a1)∨a2,(1-a1)∨a2]);

若a1>a2,b1≤b2,c2≤c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([a1∧(1-a2),a1∧(1-a2)],

[((1-a1)∨a2)∧((1-d2)∨d1),

((1-a1)∨a2)∧((1-d2)∨d1)]);

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([a1∧(1-a2),

a1∧(1-a2)],[((1-a1)∨a2)∧

((1-c2)∨c1),(1-a1)∨a2]);

若a1>a2,b1≤b2,c2>c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([a1∧(1-a2),a1∧(1-a2)],

[((1-a1)∨a2)∧((1-c2)∨c1)∧

((1-d2)∨d1),((1-a1)∨a2)∧

((1-d2)∨d1)]);

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([a1∧(1-a2),

(a1∧(1-a2))∨(b1∧

(1-b2))],[((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2),((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)]);

若a1>a2,b1>b2,c2≤c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([a1∧(1-a2),

(a1∧(1-a2))∨(b1∧(1-b2))],

[((1-a1)∨a2)∧((1-b1)∨b2)∧

((1-d2)∨d1),((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)∧((1-d2)∨d1)]);

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2≤d1,则

α⊖SL*β=([a1∧(1-a2),(a1∧(1-a2))∨

(b1∧(1-b2))],[((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)∧((1-c2)∨c1),

((1-a1)∨a2)∧((1-b1)∨b2)]);

若a1>a2,b1>b2,c2>c1,d2>d1,则

α⊖SL*β=([a1∧(1-a2),(a1∧(1-a2))∨

(b1∧(1-b2))],[((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)∧((1-c2)∨c1)∧

((1-d2)∨d1),((1-a1)∨a2)∧

((1-b1)∨b2)∧((1-d2)∨d1)]).

4 结束语

本文在区间值直觉模糊区域上研究了三角模和三角余模的性质,给出区间值直觉模糊差算子和区间值直觉余伴随的概念,讨论了它们在区间值直觉模糊区域上的性质,得到了剩余型区间值直觉模糊差算子的统一形式,揭示了区间值直觉模糊差算子与模糊算子之间的关系.最后给出4类基本左连续三角模生成的区间值直觉模糊差算子的具体表达式.