基于“学会思考”的数学学习行为研究

姜先亮 朱桂凤

【摘 要】 学会思考就是用“数学地思维”分析世界和思考世界.学会思考包括关联思考、内化思考和整合思考，涉及认知表现、心理原型和信息判断等心理过程.通过对“学会思考”的研究，有助于学生在“做中”抽象、“想中”表征和“说中”迁移.

【关键词】  学会思考;数学教学;学习行为

如何让学生通过数学学会思考，已经成为数学教育实践中值得研究的一个重要话题[1].澳大利亚教育部颁发的《澳大利亚数学课程》文本中，提及“课程聚焦于培养逐步复杂的数学理解、流畅、逻辑推理、分析思考和问题解决技能”.新加坡教育部公布的《初中数学教学大纲》文本中，在数学课程目标中包含“发展数学思考和问题解决技能，应用这些技能公式化并解决问题”[2].联合国教科文组织提出发展学生核心素养的“五大支柱”，包括学会求知（learning to know）、学会做事（learning to do）、学会共处（learning to live）、学会发展（learning to be）、学会改变（learning to change）五项能力.2016年9月中国制定了发展学生核心素养的三个部分（文化基础、自主发展和社会参与）、六个指标（人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新）和十八个要点.其中，学会求知、学会学习等“学会”行为都是学会思考的可替代概念，是学生认知发展、终身发展、全面发展以及健康发展的思维动力体系，有助于人的“关键能力”的培养和“必备品格”的养成.

在数学认知行为学研究范畴，学会思考就是用数学的思维“数学地”分析思考世界，学会“想数学”（同化、顺应和重组）、“做数学”（自变、共变和组块）和“说数学”（抽象、表征和迁移），并用关联、内化和整合等认知行为动词来刻画和描述，主要涉及认知表现、心理原型和信息判断等过程性心理目标（见表1）.这些深度思考行为，一方面有助于数学思考目标的层次性实现和基本思维方式的体验及其独立思考行为的养成，另一方面有助于抽象数学、推理数学和建模数学三大能力的培养及其思维储备.

1  关联行为，是通过思维的同化、顺应与重组来实现的，是学会思考的认知表现

关联是数学思考的桥梁，是思维运动的基石，是概念获得的思维中介，是联系数学与生活的思维方式，是“想数学”的外在表现.在学会思考研究范畴，关联特指将诸多零散事实和不确定经验，建构抽象术语和事物数个可观测的具体特征之间的关系.比如，我们在学习“认识三角形”起始概念课时，一般都会呈现教材中设置的“帆船”“金字塔”等图片，让学生抽象画出自己理解的三角形，描述三角形特征并符号化以及类化举例（比如，红领巾、三角板、三明治等）.其中，“帆船+金字塔等→察觉生活中的三角形→抽象出数学中的三角形→可观测到三条边、首尾顺次相接、三个内角等特征”的关联行为就是抽象术语与可观测特征关系的建构过程.也就是，经验、事实与概念发生了关联.因此，就这一思维认识来说，学会思考的过程就是概念与其本质特征建立关联的过程，没有关联就没有概念关系的建立.概念理解的本质就是关联，规则的发生、发展与使用也是一种关联，数学推理是一种深度关联（言之成理，落笔有据），这些不同的关联有助于知识结构化、系统化.

数学教学中的“举一反三”“触类旁通”“变式训练”都是一种关联及其深度关联.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011）》）在数学思考目标范畴，提出建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力.这里的“数感”“符号意识”“空间观念”是从“生活世界”到“数学世界”建构的抽象术语，其“生活→数学→生活”“活动→思考→深度思考”等内部关系的揭示就是关联行为的结果及其结果状态，而“几何直观+运算能力”是非完全演绎推理，是学会思考的重要思维组成部分，有助于“猜想→验证”等“想数学”及其思维序列化.

就学会思考的实现方式来说，关联是通过同化、顺应、重组来实现的，是学会思考的认知表现.其中“同化关联”是指不改变原有的认知结构，直接将原有的认知经验应用到本质特征相同的一类事物中去.像“你能再举出生活中带有三角形特征的实例吗？”“你能再写出几个具有类似特征的式子吗？”“再写出几个可以用‘因式分解法求解的一元二次方程并求解”等.这些类化抽象过程就是最为普遍的同化思考，有助于概念规则的关联理解，也是中国传统数学教育中的显性变式的关联形式.“顺应关联”是将原有的认知经验应用于新的情境中，需要调整原有的经验或对新旧经验加以概括，形成能包容新旧经验的更高一级认知结构，以适应外界的思考变化.

比如，在有理数范围内进行“因式分解”，知道x4-4=（x2+2）（x2-2），不能再分解;当我们學习算术平方根以后，引进无理数概念，将数的研究范围从有理数扩充到实数范围，知道x4-4=（x2+2）（x+ 2 ）（x- 2 ），这就是顺应思考.其实，引进“虚数概念”后，将数的研究扩充到复数范围，代数式“x2+2”还可以进一步分解，这是未来高中三年要研究的一个知识关联，这里不做解释.总之，顺应思考的结果是认知结构得到改变（有理数→实数→复数），新概念（无理数、虚数等）建立过程就是顺应思考，有助于深度思考的发生.重组关联是指重新调整原有认知系统的要素及其各要素间联系、各成分及其各成分之间的关系，并有序应用于新的情境.有如“二元一次方程”到“一次函数”关系的建立，就是一种重组关联，有助于学生抽象出可观测的特征（“二元一次方程组的解”就是对应两个一次函数图象交点的坐标），在几何直观和运算算理的参与下，发展了深度关联与深度思考等“想数学”的推理能力，实现了学会思考的“可能”与“不可能”目标.

2  内化行为，是通过思维的自变、共变与组块来实现的，是学会思考的心理原型

“内化”是心理学术语，是知识获得的心理原型，是知识迁移的就绪状态，是“做数学”的直接目标.从认知心理学来看，“内化”是外部认知行为动作向内部思维的转化，内部思维动作映像形成的过程.这就是人们常说的，数学学习的过程就是“内化于心，外化于行”的思考过程，即“外部动作输入→思维内化→内部动作映像输出”是知识技能获得的三个阶段.日常数学学习中的“做数学（利用剪刀、纸张工具）→想数学（反思监控）→说数学（数学建模）”就是内化认知行为作用的结果，是学习内化的表现形式抑或具体例子.从心智技能形成过程看，心智技能的获得是通过实践动作的内化来实现的.在加里培林和安德森研究的基础上，我国教育心理学家提出了原型定向、原型操作和原型内化的心智技能形成三段论.这里的“原型”就是“心理原型”的替代概念，特指专家头脑中高度约简的经验体系或者观念的、內潜的、简缩的经验组块.数学概念、数学规则和数学公式的本质就是一种普遍的“认知心理原型”.

可以说，心智技能培养的过程就是将专家头脑中的经验内化为学生的实践经验的过程.比如，平方差公式的学习，我们通过用覆盖的方式让小正方形纸片叠合在大正方形纸片上，在“作差思想”的指导下，研究未覆盖部分的面积关系是a2-b2=（a+b）（a-b）.让学生经历专家发现公式的过程，将专家头脑中的公式转化为学生的实践行为，即学生能使用平方差公式进行因式分解，这就是学生的心智技能得以培养的经典例证.正如《课标（2011）》指出的那样，在呈现作为知识和技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.其中“抽象”可以理解为原型定向，“建模”可以理解为原型操作，而“解决问题”可以理解为原型内化.基于这一认识，可以说心智技能的获得过程就是抽象、建模和解模的过程，有助于学生获得完备的知识体系，即通过“动手做”获得有意义的“完形知识”.

就原型内化论来说，内化行为起于原型定向，成于原型操作，终于心智技能的获得.内化是在“组块思维”的参与下，通过思维变量的“自变和共变”来实现的.在心理学中把要记忆的东西加以分类抑或加工使之成为一个小的整体，就称之为“组块”.比如，“特殊四边形”就是一个大单元概念组块，包括平行四边形、矩形、菱形和正方形以及等腰梯形的概念、性质、判定等体系要素.“自变”是自变量的替代概念，支配着学生自觉数学的能动水平.“共变”是语言思维学术语，是语言和社会这两个变数相互影响、相互作用的共变关系.比如，数学教育过程中的文字语言、图形语言和符号语言之间的转化就存在一种共变关系，另外“三角形三边制约关系”的获得过程也存在共变关系.为此，可以这样说，原型定向就是组块行为，原型操作就是自变行为，原型内化就是共变行为.基于这一理解数学学习过程必须做好三个维度的“学思考”工作：一是建构意义组块，定向认知原型;二是用好自变行为，定向思维操作;三是关注有序共变，实现原型内化.

内化行为样题： （1）图1是一块直角三角形纸片.将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕.试说明△CBE是等腰三角形;（2）再将图1中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图2）.通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”.你能将图3中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图3中画出折痕;（3）请你在图4的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形;②顶点都在格点（各小正方形的顶点）上;（4）试探究一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形？

如果说，问题（1）（2）是一种组块行为，那么问题（3）是一种自变行为，则问题（4）是一种共变行为;如果说前两个问题是一种原型定向的过程，那么第三个问题是一种原型操作过程，则第四个问题是原型内化的过程.在学习困境驱动理论看来，思维困惑或僵局有利于学习，促进了批评性思考和学习者对学习材料的深加工[3].这里可以把原型定向、组块行为看作是思维困境（无序的折→定义组合矩形），那么原型操作、自变行为看作是批评性思考（画组合矩形→画组合正方形），则原型内化、共变行为是思维的深加工（非特殊四边形→可转化成四个直角三角形→建构组合矩形或组合正方形），有助于学会思考目标的实现，促进深度思考的有序进行，进而内化心理原型，缓存建模能力和发展抽象素养.  3  整合行为，是通过思维的抽象、表征与迁移来实现的，是学会思考的信息判断

整合属于认知心理学概念，是知识迁移的表现形式，是系统概念获得的重要途径，是知识全息化、结构化和系统化的重要思维方式，是“说数学”的思维前提.比如，我们在研究用“待定系数法”求“二次函数关系式”的适应性（a≠0），首先根据给定的已知条件，选择顶点式y=a（x-h）2+k、交点式y=a（x-x1）（x-x2）、还是一般式y=ax2+bx+c等思考过程，然后借助方程组思维，获取最简洁的答案，这就是一种普遍的认知整合行为.《课标（2011）》指出，数学学习要把每堂课教学的知识置于整体知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识和整体知识的关系，引导学生感受知识的整体性.这也是我们常常会把数学知识放在初中三年或高中六年的高度去学习的重要原因.进一步来说，我们在学习多项式因式分解时，可以分别放在有理数、实数以及复数范围内进行整合研究，让学生知道我们的思维应该到哪里去，如何到达那里，为什么可以到达那里.毋容置疑，知识的整体性（包括概念、规则、算法、应用）、结构性（概念之间的内部关系）以及体系化（数与代数系统、图形与几何系统、统计与概率系统、综合与实践系统）都是思維整合的结果形态，而思维综合与思维概括是整合行为的关键词.在深度信息加工研究范畴，整合行为是通过分析、抽象、综合、概括等认知活动过程来表现的，使新旧经验相互作用，形成结构完整的心理系统及其概念图（concept map）.这里的“概念图”即表示概念与概念间相互关系的空间网络知识结构图.像“平行四边形→矩形+菱形→正方形”就是非特殊四边形的一个概念图，这有助于学生修正错误、充分发展自己的知识结构，提升整合意识和监控调节能力.

在数学思考目标执行范畴，思维认知整合的过程就是数学抽象、多元表征和重组迁移的过程，而用数学地思维“说数学”是依靠抽象、表征和迁移来实现的.因此整合行为本身就是一种让学生在思考中学会思考，在信息整合中实现正确的信息判断与加工，从而发展深度思考能力.日常数学学习中的“讲题行为”“说题行为”“思维拓展”“链接思考”都是说数学的一种表现形式，有助于学生学会思考和学会独立思考.这里的数学抽象（mathematical abstraction）是哲学的基本概念，指抽取出同类数学对象的共同的、本质特征，剔除非本质的属性的思维过程.概念的发生、发展离不开数学抽象.多元表征（multiple representations）是将同一个数学学习对象用叙述性（言语化表征）或者描述性（视觉化表征）等思维形式进行科学表达.像“两点之间，线段最短”就是叙述性表征，而“像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程叫一元一次方程”是描述性表征.迁移是普遍学习现象，平常所说的举一反三、闻一知十、道生无限都是典型的迁移形式.由于迁移的存在，几乎所有习得的经验都以各种方式相互联系起来，即概念图是思维迁移的产物.

另外，原有结构的清晰性、稳定性、概括性、包容性、连贯性和可辨别性都影响知识的迁移.基于这一理解，在整合学习中，尤其是解题学学习中，需要做好三个方面的“说数学”工作.一是通过不断抽象，形成概念图;二是进行多元表征，形成问题解决产生式;三是关注信息判断与整合迁移.让学生体会基本思想和思维方式，实现将问题解决的实践经验转化为学生的内在的思维智慧，从而培养学生“学会思考”及其稳定的思维品质.

整合行為样题： 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是？（答案是中线）（2）如图5，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE.请你给出这个结论成立的理由（设BC、AE的交点为F，则证△AFB≌△EFC即可），并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）（作出△AED的边ED边上的中线即可）;（3）如图6，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC>S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？（连接AC，过点B作AC的平行线交DC的延长线交于点E，基于图5操作经验，解答不困难）若能，请画出面积等分线，并给出证明（略）;若不能，说明理由.

贾德的经验类化理论强调概括化的经验或原理在迁移中的正向作用，而整合是通过“概括”和“表征”来完成的.因此，整合行为应该贯穿于数学学习的全过程.在整合行为样题中，如果说问题（1）的设置是数学抽象的思维承担载体，那么问题（2）是对数学建模的表征，是“说数学”的思维对象，则问题（3）是知识迁移的有效模型，是对抽象思维、表征思维的一种有序整合.这种意义迁移，让学生既获得了解决问题套路，也获得了学会思考能力，这就是用“整合行为”研究数学的最大优势.就认知心理学看，这与“独立思考、学会思考是创新的核心”的课标观念，具有内部关系一致性.

参考文献

[1] 常磊.国内外高层次（数学）思维研究述评[J].数学教育学报，2016，25（5）：9-16.

[2] 严虹，游泰杰，吕传汉.对数学教学中“教思考、教体验、教表达”的认识与思考[J].数学教育学报，2017，25（5）：26-30.

[3] 黄梅，黄希庭.对数学教学中“教思考、教体验、教表达”的认识与思考[J].教育研究，2015（7）：108-115.