重组学材开放教学，采集生成驱动学程——以九年级“锐角三角函数”起始课教学为例

☉江苏省江阴市暨阳中学 浦旦君

初中阶段锐角三角函数在学段最后阶段才开始教学，而且多是安排在相似三角形之后引出.从知识连贯与必要准备来看是有道理的.然而几种版本的教材在引出锐角三角函数这个概念时多采取利用生活情境中梯子或坡度大小来分析直角三角形边角的关系，接着定义正切、正弦、余弦等概念，最后往往是“一带而过”直接告知学生它们都是三角函数，对函数本质的揭示不够到位.本文先整理近期笔者开设的一节“锐角三角函数”起始课的教学环节，并给出教学立意的阐释，供研讨.

一、“锐角三角函数”起始课教学课例

教学环节1：复习旧知

问题1：同学们在八年级学习函数时，是如何定义函数的？

问题2：到目前为止，同学们已学习了哪些函数？你认为最简单的函数是哪种？（预设，学生已学习一次函数、二次函数、反比例函数，等等，最简单的函数是一次函数中的正比例函数）

教学组织：在以上两个问题驱动之下，师生对话，在黑板的副板区形成函数定义，便于后续进一步定义锐角三角函数.并安排学生在准备好的坐标纸上画出几个特殊的正比例函数的图像，教师在下面观察学生所画，请几个有代表性的学生到黑板上画出相应的图像（如图1~3），便于进一步研究.

图1

图2

图3

采集到图1~3到黑板上之后，邀请这些学生上台讲解这些正比例函数图像的“特殊之处”，即这些图像与x轴的夹角都是一些特殊角度（30°、45°、60°）.进一步引导学生把目光聚焦在这些图像在第一象限内的部分，研究第一象限内这些图像上任意一点的纵、横坐坐标的比值，发现在各个坐标系内，随着角度确定之后，这些比值也随之唯一确定.于是引出新知.

教学环节2：定义新知

从图1~3中分离、聚焦一个直角三角形，如图4，我们把PQ与OQ的比值定义为正切函数，像图4中可记作tan45°==1，并指出，在图4中，如果记点P到原点O的距离为r，则、也是确定的，进一步也定义它们分别为正弦函数、余弦函数.

图4

在此基础上，继续完善定义，用Rt△ABC来表示正弦函数、余弦函数、正切函数，书写在黑板左侧的“主板区”，渐次生成结构化板书.

教学环节3：初步运用

例题讲评：整理特殊锐角30°、45°、60°的三种锐角三角函数（正弦、余弦、正切）数值表格.

教学组织：安排学生由黑板上生成的一些特殊三角形，对照刚刚定义的三种三角函数，分别求出特殊锐角30°、45°、60°的函数值（共9个），并让学生列表整理出来，由一个小组派学生代表到黑板上书写出表1：

表1

跟进追问1：既然是函数，往往要研究函数的一些性质或图像，由于初中阶段只研究锐角范围内的三角函数，并不涉及三角函数更多的内容，所以我们就初步研究一下这三种函数的增减性.先在小组内研讨再全班汇报交流.学生将分别猜想得出，对于锐角，随着自变量锐角度数的增大，它的正弦函数值随之增大、余弦函数值随之减小、正切函数值随之增大．

跟进追问2：从表格中还有一些发现，比如，sin30°＝cos60°，sin45°＝cos45°，这种性质能否“一般化”？比如，猜想对于锐角α，是否一定有sinα＝cos（90-α）？能否利用三角函数的定义证明这个性质呢？接着安排学生先独立思考，然后小组交流讨论，并确认这个性质．

跟进追问3：计算sin230°＋cos230°和sin245°＋cos245°.

学生计算出答案为1之后，引导学生思考：这个问题能否“走向一般”？即sin2α＋cos2α是否为定值1？仍然引导学生“回到定义”来证明这个性质．

教学环节4：小结展望

小结问题1：对于这节课学习的锐角三角函数，大家有什么体会？能否用几个关键词梳理一下本课所学？

小结问题2：你觉得以后学习锐角三角函数时，还会学习哪些内容？

教学组织：在学生回答的基础上，教师对黑板上的内容进行梳理，完善生成结构化板书．（略）

二、教学立意的进一步阐释

1.铺平垫稳，定义三角函数的概念

在引入新课阶段，先回顾函数的定义，然后小组分工讨论几个特殊的正比例函数的图像，并安排学生代表上台画出图像，其他学生上台讲解是如何理解这些正比例函数的特殊性的，教师在这个过程中跟进追问，让学生看到这些正比例函数的图像与x轴的正半轴的夹角的特殊性，在这个过程中，可以换不同学生上台讲解各自的理解，重点在这个特殊角度是如何得到的.学生如果几何构造能力不强，则常常会被“问住”从而“卡在”那儿，思路难有进展，这时其他学生参与讲解、辨析，把问题的本质揭示出来．就是已知一个直角三角形中确定的边之比后，如何推导出相应的锐角角度？如果不愿意走几何构造的思路，还可以通过接下来定义的锐角三角函数研究它们，让学生感受到一个新的概念或新的定义是自然而然的，很有必要的，能解释很多以前遗留下来的较难问题．

2.采集生成，让生成资源驱动学程

我们知道，开放需要放开，当问题放开之后，学生的生成会很发散，教师如何驾驭呢？这就对课前的备课提出了很高的要求．比如，上面课例中安排学生列举一些特殊的正比例函数，就是很开放的问题，教师需要预设学生各种不同的情形，通过参与小组内交流，采取、捕捉到接下来教学进程中需要的那几个特殊的正比例函数，让相应学生到黑板上板演、讲解，也就实现了从学生的生成性资料来驱动学程的教学立意．我们常常期待选择一个好的问题情境驱动教学，实现问题引领、问题驱动的教学功能，如果能在教学进程中通过恰当的设问，促进学生生成一个新的问题情境或背景，促进后续学程的推进，则是很有品质的问题驱动．

3.初步运用，重视回到定义去解题

在定义三种锐角三角函数之后，需要安排学生对定义进行初步理解，仍然利用学生已得出的两种特殊直角三角形来研究几个特殊锐角的三角函数值，在学生“活动单”上列出表格，让学生先独立计算9个三角函数值，小组内先核对交流，然后教师安排学生观察表格中的三角函数值与自变量（角度）的关系，引导他们发现一些特殊的性质（比如，互余两角的正弦、余弦值相等），并促进这些发现走向一般，形成猜想，最后安排学生“回到定义”去证明．这个过程是一次“微型”的“做数学研究”的过程，学生经历了操作分析、整理数据、观察分析、发现猜想、走向一般、证明猜想这样的研究过程，而且最后的证明渗透了“回到定义去解题”的解题思想．

三、写在后面

教无定法，课堂教学更是一门遗憾的艺术．笔者曾在不同班级组织过上面课例的实施，然而效果不尽相同．可见上面教学立意的阐释多带有个性化理解，不一定准确，更不一定正确，期待专家学者批评指正．