基本事实与公理*

☉内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林

☉内江师范学院数学与信息科学学院 黄成世

一、基本事实、公理化思想与公理的含义

1.基本事实的含义

辞海对“基本”的解释是：根本，根本的；对“事实”的解释是：事情的真实情况.由此推之，基本事实是指基本的事实，或者说是指根本的事实.显然，基本事实具有可感知性、真实性、基础性等特点.基本事实的可感知性是指借助于人的眼、耳、手等感觉器官可以感知这个基本事实；基本事实的真实性表示可以验证或证明；基本事实的基础性是指能反映数学某个子系统最基本的规律或特点.数学基本事实是数学研究中获得的相对独立的程式化的思考模式［1］.把数学基本事实直接看成“思考模式”未必会被学界普遍接受.研究者认为，数学基本事实是指能反映数学某个子系统最基本的规律或特点的事实，数学基本事实需得到数学界的普遍认可.

2.公理化思想方法的含义

公理化思想方法（又称公理化方法）最早出现在欧几里得的《几何原本》.欧几里得选取了几个不加定义的原始概念（或称基本概念）和一组不需证明的几何命题作为公理（或公设），使它们成为全部欧几里得几何的出发点和逻辑推理的前提，然后应用亚里士多德提出的三段论推理，推演出一系列几何定理，从而把关于几何的知识整理为一个（比较）严谨的几何学理论体系，这就形成了《几何原本》.公理系统中的基本概念和公理（或公设），必须反映该学科中基本对象最简单、最本质的内部关系，它并非是人们凭自己的主观意志或愿望而随意创造的.在历史上，公理化思想方法的发展经过了4个时期：一是欧几里得的直观性公理化时期；二是非欧几何的思辨性公理化时期；三是希尔伯特的形式主义公理化时期；四是法国的布尔巴基的结构主义公理化时期［2］.中学几何包括平面几何和立体几何，属于直观性公理化时期的欧几里得几何.中学几何知识可以借助于人的眼、耳、手等感觉器官去感知并辅助学习，可以动手做几何模型，但非欧几何更多的是靠思辨、想象、推理等方式去学习或理解.

3.公理的含义

很显然，公理（或公设）是《几何原本》最具有原创性的核心概念，也是公理化思想方法精髓的基本概念.辞海对“公理”的解释是：“在一个系统中已为反复的实践所证实而被认为不需要证明的真理.”这里所说的真理是相对真理而非绝对真理.这个解释适合于欧几里得几何，但对非欧几何中的一些公理未必适合，例如，非欧几何中的平行公理就没法被“反复的实践所证实”.公理一般需要数学中的一些基本概念来表达，而数学基本概念是理性思维的产物，因此，公理也是理性思维的产物.从严格意义上讲，公理一般不能证明，它是不证自明的，它可以作为数学证明中的论据.但考虑到中学生的认知水平，为了降低教学的难度，节省教学时间，在中学教材里把一些重要的但其证明的难度较大的定理也作为公理，即中学几何的公理体系是扩大了的公理体系，也就是说，中学几何的公理体系中的一些公理实质上是定理，这些定理是可以证明的，但其证明的难度较大或较为麻烦.在中学，把一些难以证明的定理当作公理，体现了“教育数学”理念，从教学实践来看是可行的、成功的.

二、基本事实是公理吗？公理是基本事实吗？

基本事实和公理是两个不同概念，它们既有联系又有区别.在《义务教育数学课程标准（2011年版）》［3］（以下简称《课标2011版》）的第31、32、33、37页提出了要求学生掌握的关于“图形与几何”的基本事实共9个，如“基本事实：两点之间线段最短”.［3］这9个基本事实在课改之前都叫作公理.《普通高中数学课程标准（2017年版）》［4］（以下简称《课标2017版》）也把课改之前的公理全改为基本事实.有意思的是，《课标2017版》在第28页的脚注中指出“基本事实1-4也称公理”，《课标2017版》显然把“基本事实”和“公理”当成了同一个概念.既然“基本事实”和“公理”是同一概念，那么就没有必要用4个字的“基本事实”去替换仅有2个字的“公理”.

1.几何中的“点”是基本事实吗？

几何图形一般可以看成“点”的集合.“点”是几何中最基本的概念，“点”是基本事实吗？著名数学家庞加莱说：“许多人都认为空间中的点的概念是人们熟知的，没有必要给出什么定义.但是在我看来，像数学中的点那样没有长短、大小、厚薄之分的微妙概念，并不是世人想象的那样直观明了，而是需要作完整说明的东西.然而，我们并不打算在这里给‘点’下个定义，因为如果把定义按顺序追序上去，就会到达不能给出定义的地步，到了那时就不得不停下定义了.那么，我们应该在什么时候停下来呢？大体是到达我们的感官能感觉到的程度，或者到达我们能够产生影像的地步时就停止.到这时，定义就失去了作用.”［5］庞加莱对“点”这个概念，想下一个定义但最终没有给出定义，想把它说清楚但他又感到说不清楚.他认为，“点”是个微妙概念，意味着口欲言而不能；“点”不是世人想象的那样直观明了，“不直观”意味着不能被看见或者难以被看见，进一步讲，“点”是不能或难以被感知的.事实上，不能给“点”下一个定义，这是因为“点”作为原始（基本）概念是没有定义的.大家知道，几何中的基本概念如“点”“直线”“平面”等是没有任何物质属性的.由于“点”没有大小，“直线”没有粗细，“平面”没有厚薄，因此“点”“直线”“平面”这些基本的几何研究对象，用人的眼睛是看不见的，用手也是摸不到的.再有，“直线”“平面”都具有无限延伸或无限延展的特点，人用有限的眼光（人眼的视力总是有限的）是不可能看到无限远的，这也决定了“直线”和“平面”是永远看不到尽头的，这是因为它们本身就没有尽头.“点”“直线”“平面”等这些基本的几何研究对象，都不会发出任何声音，用人的耳朵去听是听不出任何声音的.因此，几何中的“点”“直线”“平面”等基本概念靠眼、耳、手等感觉器官是无法感知或难以感知的.即“点”“直线”“平面”等几何研究对象都不是基本事实.由此从严密逻辑性的角度讲，“两点之间线段最短”不是人们能够感知到的基本事实，而是人类在感性认识的基础上理性思维的结果.

可能有人会说，“点”“直线”“平面”我们可以画出来.但应注意的是，“点”没有大小、“直线”没有粗细、“平面”没有厚薄，“直线”和“平面”还具有无限性的特点，它们能真实地画出来吗？回答是否定的.我们能够画出来的只是“点”“直线”“平面”的示意图而非其本身.

2.基本事实是公理吗？

基本事实未必是公理.由于公理是描述基本概念之间内在基本关系的真命题，因此，刻画“点”“直线”“平面”等几何对象的关系的一些公理被直接认定为真命题.

在人们的实践和生活中，有很多基本事实都不能作为数学中的公理，比如，“熟了的梨子是甜的”，这显然是一个基本事实，但它永远不能作为一条数学公理.非数学的其他科学中的基本事实也不能直接作为数学中的公理，如“硫酸具有腐蚀性”是化学中的基本事实，但此性质永远都不能作为数学中的公理.这是因为数学不会直接研究梨子、硫酸等，也不能用数学的方法去证明梨子是甜的、硫酸具有腐蚀性.

3.公理是基本事实吗？

张楚廷教授认为，“欧几里得的《几何原本》所体现的公理化思想，不是来自于任何自然现象，而是来自于古希腊圣哲们的逻辑思想，并非来自于自然和社会.而逻辑思想来自人的思想本身，来自人的心灵”.“是人缔造了数学”.［6］既然欧几里得几何不是直接来自于任何自然现象，也不是直接来自于人类生活，那么欧几里得几何中的基本概念和公理（公设）也不是直接来自于任何自然现象和人类生活.也就是说，欧几里得几何中的基本概念和公理（公设）不是自然现象和人类生活中的基本事实.因此，欧几里得几何中的公理（公设）未必都是基本事实.

当然，有的基本事实可以看成公理，有的公理可以看成基本事实.以《课标2011版》的第31页的“基本事实：两点之间线段最短”［3］为例，人们普遍能够接受“两点之间线段最短”这个结论，因此，把“两点之间线段最短”看成基本事实或者看成公理，都不会有异议.但也有一些基本事实不能看成公理，也有一些公理不能看成基本事实.以《课标2011版》的第32页的“基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”［2］为例，这实质上是欧几里得的《几何原本》中的平行公理（又叫第五公设）.在数学发展的历史中，很多数学家认为这不是一条独立的公理，总是想尽办法试图去证明它，但均以失败告终.罗巴切夫斯基、鲍耶、高斯、黎曼等数学家研究了失败的原因，对“《几何原本》中的平行公理可以证明”开始是质疑（怀疑），接着他们认为《几何原本》中的平行公理不能证明，于是就创造性地提出了非欧几何中的平行公理，由此就创立了非欧几何.因此，数学中的一些公理一般不能看成人们的实践和生活中的基本事实.

三、几点思考

1.公理化思想方法具有较高的教育价值

在数学学科中，某一个分支成熟的标志是该分支建构了（比较）严格的公理系统.运用公理化思想方法建立起来的系统的知识体系称为公理系统.一门科学在其发展的初期和中期，必然会积累大量经验数据和不少理论知识，也就是当人们对一门科学认知了一定数量的概念（原理）、规律、法则（准则）和算法等之后，就可以运用公理化方法对该门科学进行系统的、严密的逻辑整理，使该门科学能够构成一个（比较）严格的公理系统，这时就可以说该门科学严密化了、成熟了.

在科学史上，牛顿是运用公理化方法的天才，他在《自然哲学的数学原理》一书中，第一次系统地运用公理化方法演绎了经典力学的理论体系，成为科学史上第一个把公理化方法运用于物理学的典范.

对“公理”的处理，《课标2011版》及配套教材的做法是淡化“公理”的概念，甚至在《课标2011版》根本就看不到“公理”二字.这种做法的本意是想降低初中学生学习平面几何的难度，其初心是好的，但这样做的本质是淡化公理化思想方法，进一步讲，淡化“公理”概念的必然结果是淡化演绎推理及数学证明的逻辑起点.淡化“公理”的概念和淡化公理化思想方法，容易形成“轻发现”“轻科学”“轻理性”“轻理论”等不良局面，正如张楚廷先生的忧虑：“在我们的文化传统里，重发明，轻发现；重技术，轻科学；重感性，轻理性；重实用，轻理论.”［7］

2.基本事实与公理是两个容易混淆的概念

有的基本事实可以看成公理，有的公理可以看成基本事实.比如，“两点之间线段最短”，既可以看成数学中的基本事实，也是一条公理.

由于“基本事实”与“公理”属于交叉概念，因此这两个概念是容易混淆的.

3.基本事实与公理的认知逻辑不相同

基本事实是需要验证或证明的.基本事实的认知逻辑主要是人们用眼、耳、手等去感知事物的本质属性，其感知的结果能够得到主流学术界的认可.在实践、生活、非数学的学科中，有很多基本事实不能作为数学中的公理.数学中的很多基本事实也不能作为公理.

公理一般是无需验证的.一个严谨的公理体系中的公理一般是不能证明的.公理是描述概念或概念之间关系的真命题.公理是建立在数学基本概念之上的.公理（或公理体系）的认知逻辑是，通过对现实世界中事物的本质、结构、关系、规律和信息等的抽象概括而得到数学基本概念，接着通过对基本概念之间的内在关系的探索与发现得到公理，最后运用逻辑规则优选出一些基本概念和一些公理就构成公理体系.由此可以归结出建构公理体系的一般模式，即“客观事物→基本事实→基本概念→公理→公理体系”.从而可以看到，基本概念是连接客观事物和公理的桥梁，公理是连接数学基本概念和公理体系的桥梁，数学教学的核心任务在于帮助学生认识并建立这两座桥梁.这个一般模式，体现了发现数学的理念与方法.如果把建构公理体系的一般模式再往前延伸，就能得到完整的数学认知模式，即“客观事物→基本事实→基本概念→公理→公理体系→定理（公式）→应用（用数学）”.

4.建议把中学数学教材中的基本事实全部改为公理

把数学教材中的“基本事实”改为“公理”有几大好处：一是“公理”能准确地体现公理化思想方法，而“基本事实”不一定能体现公理化思想方法；二是学生通过对“公理”的学习，可以了解公理化思想方法；三是学生通过对“公理”的学习，可以认识数学理性思维的意义和价值；四是在中学渗透公理化思想，对学生学习高等数学有益；五是中学数学教师都对“公理”很熟悉，在教学时不会产生知识理解上的偏差；六是“公理”比“基本事实”既简单、又“节约”、还准确，“公理”比“基本事实”少写、少读两个字，其表达和书写都更简洁.研究者认为，数学课程标准和中学教材都刻意回避“公理”的概念，是不够严谨、不够稳妥的，并且对培养学生的理性思维是不利的.基于此，我们建议把数学课程标准和数学教材中的基本事实全部改为公理.