一道直线与椭圆有公共点问题的三种解法

■重庆市铁路中学校

解法一:(判别式法)

把直线l的方程y=kx-2代入椭圆方程,消去y,整理得:

(2k2+1)x2-8kx+6=0。

评析:判别式法是处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法之一,此方法较简单,但有时运算较复杂。

解法二:(三角代换法)

评析:通过三角代换把关于x,y的方程问题转化为关于θ的方程问题,对于两曲线有公共点的问题,用此方法往往能收到事半功倍的效果。

解法三:(数形结合法)

如图1,直线l:y=kx-2恒过点P(0,-2),所以直线PA的斜率为-,直线PB的斜率为。

图1

评析:通过数与形的结合,可以把抽象的问题具体化,复杂的问题简单化,采用此方法可达到立竿见影的效果。