对圆锥曲线中的定点问题的思考

■安徽省太和中学

圆锥曲线的定点、定值问题,是指某些几何量不受运动变化的元素的影响而有固定取值的一类问题,是在运动变化中寻找不变量的一类题型。定点、定值问题是数学思想与数学知识紧密结合产生的一类综合性试题,其解题方法体现了一般与特殊的数学思想,也是高考考查逻辑推理素养、数学运算素养等数学核心素养的热点题型之一。

一、问题的提出

(一)高考原题

(1)求C的方程。

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点。

(二)官方解析

(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点。

(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2。

所以直线l必过定点（2,-1）。

二、对定点问题的思考

(一)思考

例1是圆锥曲线的定点问题的证明。既然是定点的证明问题,是否可以根据特殊情形求出定点的坐标,再针对一般情形加以证明或者验证呢?

设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,根据第(1)小题可知a=2,b=1,经过点与右顶点的直线的斜率恰为,注意到k1+k2=-1,应用极限的数学思想,直线P2A与直线P2B的斜率趋于相等,即点A,B趋于重合时恰好满足题设,此时直线l趋于椭圆的切线x=2,所以定点在直线l:x=2上。

再者,设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设l:y=kx,将y=kx代入得(1+4k2)x2-4=0,则:

验证如下:

①当直线l的斜率不存在时,过点（2 , -1）的直线与椭圆C相切,与题设不符。

所以直线l必过定点(2,-1)。

(二)评析

在定点问题的解决过程中,可以首先借助于特殊情形确定出这个定点,这也是特殊与一般的思想之“特殊”,而特殊情形的选择不一定就是平行于坐标轴的情形,具有一定的灵活性、技巧性。定点问题的解决的第二个环节是结合一般情形论证这个定点,这是特殊与一般的思想之“一般”。一般情形的论证往往借助于待定系数法,运用转化与化归的数学思想化归为含有参数的等式恒成立问题来处理。当然,更为简捷的方法不必是一般情形的“论证”,而是对定点的“验证”。

(三)定点问题创新解法的应用

(1)求椭圆C的方程。

(2)若直线l与椭圆C相切于点P,与直线x=2相交于Q,问是否存在定点M使得MP⊥MQ。若存在,写出定点M的坐标;若不存在,请说明理由。

(2)①直线l的斜率为0时,若l:y=1,则P（0,1）,Q（2,1）,此时M必在圆(x-1)2+(y-1)2=1上;若l:y=-1,则P(0,-1),Q(2,-1),此时M必在圆(x-1)2+(y+1)2=1上。

所以若存在定点M,则M必是圆(x-1)2+(y-1)2=1与圆(x-1)2+(y+1)2=1的公共点M(1,0)。

②法1:论证过程如下:

直线l与直线x=2相交于Q,则直线l的斜率必存在,设直线l:y=kx+m,则:

故存在定点M(1,0),使得MP⊥MQ。

法2:验证过程如下:

同法1,若满足条件的点M存在,只能是M(1,0)。

故存在定点M(1,0),使得MP⊥MQ。

(四)对创新解法的评析

定点问题的解决的第二个环节可以结合一般情形“论证”这个定点,更为简捷的方法不是论证,而是“验证”,如例2的论证过程须运用待定系数法转化为含有两个参数的等式恒成立问题,十分繁杂,极容易出错,而验证过程大大减少了运算量,简捷自然。

三、创新解法的延伸

定点问题的解决的创新思路是:“特殊情形求定点,一般情形证定点。”这种创新思路是否可以延伸到定值问题、参数问题呢?

(1)求椭圆C的方程。

(2)设P为椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。求证:AN ·BM为定值。

故AN ·BM为定值。

例4(2016年四川理科20)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T。

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标。

(2)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P。试证明存在常数λ,使得PT2=λPA ·PB,并求λ的值。

解析:(1)设短轴一端点为C(0,b),左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),其中c＞0,且a2=b2+c2。

又直线l与椭圆E只有一个交点,则Δ=122-4×3(18-2b2)=0,解得b2=3。

证明如下: