广义S-型模李超代数的生成元

董艳芹，金明浩，王 颂，张永正

(1.长春师范大学数学学院，吉林 长春 130032；2.吉林省实验中学，吉林 长春 130022；3.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

1 广义S-型模李超代数的构造

令q∈N，r=n+q.Λ(q)表示域F上具有q个未定元xn+1，xn+2，…，xr的外代数.定义

B(q)∶={〈i1，i2，…，ik〉|n+1≤i1

若{u}={i1，i2，…，ik}∈B(q)，则令|u|=k，xu=xi1，xi2，…，xik.约定|∅|=0，x∅=1.则{xu|u∈B(q)}构成了Λ(q)的一个F-基底.

设D1，D2，…，Ds是A上的线性变换，且满足

则D1，D2，…，Ds是A的超导子.容易看出对任意i∈I2，Di(x(α)xuyλ)=λix(α)xuyλ.令

[fDi，ɡDj]=fDi(ɡ)Dj-(-1)P(fDi)P(ɡDj)ɡDj(f)Di，

(1)

其中f，ɡ∈A，i，j∈J.令

其中

令

2 广义S-型模李超代数的生成元

因此引理成立.

引理2.2Dij(xπ)∈X，i，j∈I0.

证明为了证明这个结果，对t用归纳法来证明Dt-1t(x(π1ε1+…+πtεt))∈X，其中t∈I0.先考察t=2的情况.设k，l∈I1，k≠l，则有

D12(x(2ε1)xk)=[D12(x(3ε1))，Dl1(xkxl)]∈X，

D1k(x((π1-1)ε1)xk)=-[D1k(x(π1ε1))，D1l(xlxk)]∈X，

D12(x(π1ε1)xk)=[D12(x(2ε1)xk)，D1k(x((π1-1)ε1)xk)]∈X，

D2k(x((π1-1)ε1+(π2-1)ε2)xk)=-[D12(x(π1ε1)xk)，Dk2(x(π2ε2))]∈X，

D2k(x(2ε2)xk)=-[D2k(x(3ε2))，D2l(xlxk)]∈X，

D2k(x((π1-1)ε1+π2ε2)xk)=-1/2[D2k(x((π1-1)ε1+(π2-1)ε2)xk)，D2k(x(2ε2)xk)]∈X.

(2)

同理有

D1k(x(π1ε1+(π2-1)ε2)xk)∈X.

(3)

此外，

D12(x(2ε2+ε1))=-[D12(x(3ε2))，D12(x(2ε1))]∈X，

D12(x(π1ε1+ε2))=-[D12(x(π1ε1))，D12(x(2ε2+ε1))]∈X，

Dk2(x(ε2)xk)=[Dk2(x(2ε2))，D2l(xlxk)]∈X，

Dk1(x((π2-1)ε2)xk)=-[D12(x(π2ε2))，Dk2(x(ε2)xk)]+D12(x(π2ε2))∈X，

D12(x((π1-1)ε1+π2ε2))=[D12(x(π1ε1+ε2))，Dk1(x((π2-1)ε2)xk)]∈X，

(4)

D1k(x(2ε1)xk)=[D1k(x(3ε1))，D1l(xlxk)]∈X.

(5)

由(2)—(5)式可得

D12(x(π1ε1+π2ε2))=-D21(x(π1ε1+π2ε2))=
-[D12(x((π1-1)ε1+π2ε2))，D1k(x(2ε1))xk]+D1k(x(π1ε1+(π2-1)ε2)xk)-2D2k(x((π1-1)ε1+π2ε2)xk)∈X.

故t=2时结论成立.

假设t时结论成立，即Dt-1t(x(π1ε1+…+πtεt))∈X.令t+1∈I0.因为

Dt-1 t(x(πt+1εt+1+εt))=-[Dt-1 t+1(x(πt+1εt+1))，Dt t+1(x(2εt+1+εt))]∈X，

故

Dt-1 t(x(δ-εt-1+πt+1εt+1))=[Dt-1 t(x(δ))，Dt-1 t(x(πt+1εt+1+εt))]∈X.

于是

Dt t+1(x(δ+πt+1εt+1))=[Di-1 i(x(xδ-εi-1+πi+1εi+1))，Di-1 i+1(x(3εi-1))]∈X.

即t+1时结论成立，归纳法完成.故Dn-1 n(x(π))∈X.设σ是{1，2，…，n}的任一个置换，同理知

Dσ(n-1)σ(n)(x(πσ(1)εσ(1)+…+πσ(n)εσ(n)))∈X.

显然πσ(1)εσ(1)+…+πσ(n)εσ(n)=π，从而Dij(x(π))∈X，∀i，j∈I0.

引理2.3Dij(x(π)xω)∈X，i，j∈J.

证明先来证明i∈I1，j∈I0时，Dij(x(π)xω)∈X.

首先用归纳法证明i∈I1，j∈I0，t∈I1时，Dij(x(π)xn+1xn+2…xt)∈X.

任取k∈I1{i}，j′∈I0{j}，则有

Dij′(x(2εj′)xk)=[Dij′(x(3εj′))，Dj′j(xkxj)]∈X.

由引理2.2知

Dij(x(π)xk)=-[Dj′j(x(π))，Dij′(x(2εj′)xk)]∈X.

从而

Dik(x(π)xk)=[Dij(x(π)xk)，Dkj(x(2εj))]∈X，

Dij(x(π)xn+1)=[Dik(x(π)xk)，Djk(xn+1xk)]∈X.

假设t时结论成立，往证t+1∈I1时结论成立.

取l∈I1{t+1}，则

Dj′j(x(2εj)xt+1)=[Djj′(x(3εj))，Dlj(xlxt+1)]∈X，

Djj′(xjxj′xt+1)=-[Dlj(xj′xl)，Dj′j(x(2εj)xt+1)]∈X.

由归纳假设知

Dij(x(π)xn+1xn+2…xtxt+1)=-[Dij(x(π)xn+1xn+2…xt)，Djj′(xjxj′xt+1)]∈X.

由此可得i∈I1，j∈I0时，Dij(x(π)xω)∈X.类似可验证其他情况成立.

引理2.4Dij(x(π)xωyλ)∈X，∀i，j∈J.

证明为了证明Dij(x(π)xωyλ)∈X，∀i，j∈J.分下面几种情况讨论：

Djl(xlxr′yλ)=[Dr′l(xlxr′yλ)，Djl(xlxr′)]∈X.

进而由引理2.3，

Dij(x(π)xωyλ)=(-1)p(xω)[Dr′i(x(π)xω)，Djl(xlxr′yλ)]∈X.

(2) 设i∈I1，j∈I2.任取l∈I0，r′∈I1{i}，则有Dij(x(π)xωyλ)=[Dr′i(x(π)xω)，Djl(xlxr′yλ)]∈X.

(3) 设i∈I2，j∈I2.任取l∈I0，r′∈I1，则有Dij(x(π)xωyλ)=-[Dr′i(x(π)xω)，Djl(xlxr′yλ)]∈X.

同理可证当i∈I0，j∈I0，i∈I0，j∈I1，i∈I1，j∈I1时，Dij(x(π)xωyλ)∈X.综上所述，对任意i，j∈J，有Dij(x(π)xωyλ)∈X.

令

M1∶={Dij(x(kεj))|i∈I，j∈I0，0≤k≤πj}，

M2∶={Dij(xkxl)|i∈I，j∈I2，k，l∈I}，

则有下面结论成立：

Dij(x(α)xuyλ)=[Dk，Dij(x(α+εk)xuyλ)]∈X.